Limite et continuité
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On a donc Ni (! - /o) = sup x E [ O,i ] l f(x) - fo (x)I � Nz (f - fo). Ainsi, pour
tout é E lR'.f-, en prenant 77 =éon a pour tout f E E tel que Nz (f - fo ) � 77 la
majoration Ni (! - fo ) � €. L'assertion est démontrée et on peut en conclure
que l'identité de (E, N 2 ) dans (E, Ni ) est continue.
Nous allons à présent montrer que l'application identité de (E, Ni ) dans (E, N 2 )
n'est pas continue <16> en OE où OE désigne ici l'application nulle. Pour montrer
la non-continuité de l'identité en ÜE, il faut montrer que
Pour é = � et 77 E lR'.f-, considérons l'application f : x E [O, 1] 1-7 fi x
n où
n = 1 + E(77- i ). Cette application est bien de classe c i et prend la valeur 0
en O. Elle vérifie Ni (!) = fi � 77 et N 2 (!) = 1 > €. L'assertion est établie.
L'application identité de (E, Ni ) dans (E, Nz) n'est donc pas continue en O.
Comme par définition une application f est continue en xo si elle admet pour
limite f(x0) en x0, on déduit des propriétés de la limite énoncées dans la partie
précédente un certain nombre de résultats concernant les applications continues. En particulier, d'après la proposition 9.7, une application continue sur
un ensemble D est bornée sur cet ensemble. On a également les propositions
suivantes qui sont des corollaires des propositions 9.3 et 9.4 respectivement.
PROPOSITION 9.8 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. Une condition nécessaire et suffisante pour que f soit continue en xo E D est que pour toute suite
(un)n d'éléments de D convergeant vers xo, la suite de terme général f(un)
converge dans (F, dp ) vers f(xo) .
PROPOSITION 9.9 Soient (E, dE), (F, dp) et (G, da) trois espaces métriques,
f une application de E dans F et g une application de F dans G. Si f est
continue en xo E E (resp. sur E) et que g est continue en Yo = f(xo) (resp.
sur F) alors l'application composée go f est continue en xo (resp. sur E).
Par ailleurs, dans le cas d'espaces vectoriels normés, on dispose de la propriété
suivante qui est un corollaire de la proposition 9.5.
PROPOSITION 9.10 Soient (E, NE ) et (F, Np ) deux OC-espaces vectoriels normés, D un sous-ensemble de E et fi et fz deux applications de D dans F. Si
fi et fz sont continues en x0 E D (resp. sur D) alors quels que soient Ài, Àz
dans OC l'application Ài · fi + À 2 · fz est continue en xo E D (resp. sur D ).
06> Co.mme il s'agit d'une application linéaire, le théorème 9.3 p. 574 établira que n'étant
pas continue en 0, cette application n'est continue en aucun point de E.
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On a donc Ni (! - /o) = sup x E [ O,i ] l f(x) - fo (x)I � Nz (f - fo). Ainsi, pour
tout é E lR'.f-, en prenant 77 =éon a pour tout f E E tel que Nz (f - fo ) � 77 la
majoration Ni (! - fo ) � €. L'assertion est démontrée et on peut en conclure
que l'identité de (E, N 2 ) dans (E, Ni ) est continue.
Nous allons à présent montrer que l'application identité de (E, Ni ) dans (E, N 2 )
n'est pas continue <16> en OE où OE désigne ici l'application nulle. Pour montrer
la non-continuité de l'identité en ÜE, il faut montrer que
Pour é = � et 77 E lR'.f-, considérons l'application f : x E [O, 1] 1-7 fi x
n où
n = 1 + E(77- i ). Cette application est bien de classe c i et prend la valeur 0
en O. Elle vérifie Ni (!) = fi � 77 et N 2 (!) = 1 > €. L'assertion est établie.
L'application identité de (E, Ni ) dans (E, Nz) n'est donc pas continue en O.
Comme par définition une application f est continue en xo si elle admet pour
limite f(x0) en x0, on déduit des propriétés de la limite énoncées dans la partie
précédente un certain nombre de résultats concernant les applications continues. En particulier, d'après la proposition 9.7, une application continue sur
un ensemble D est bornée sur cet ensemble. On a également les propositions
suivantes qui sont des corollaires des propositions 9.3 et 9.4 respectivement.
PROPOSITION 9.8 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. Une condition nécessaire et suffisante pour que f soit continue en xo E D est que pour toute suite
(un)n d'éléments de D convergeant vers xo, la suite de terme général f(un)
converge dans (F, dp ) vers f(xo) .
PROPOSITION 9.9 Soient (E, dE), (F, dp) et (G, da) trois espaces métriques,
f une application de E dans F et g une application de F dans G. Si f est
continue en xo E E (resp. sur E) et que g est continue en Yo = f(xo) (resp.
sur F) alors l'application composée go f est continue en xo (resp. sur E).
Par ailleurs, dans le cas d'espaces vectoriels normés, on dispose de la propriété
suivante qui est un corollaire de la proposition 9.5.
PROPOSITION 9.10 Soient (E, NE ) et (F, Np ) deux OC-espaces vectoriels normés, D un sous-ensemble de E et fi et fz deux applications de D dans F. Si
fi et fz sont continues en x0 E D (resp. sur D) alors quels que soient Ài, Àz
dans OC l'application Ài · fi + À 2 · fz est continue en xo E D (resp. sur D ).
06> Co.mme il s'agit d'une application linéaire, le théorème 9.3 p. 574 établira que n'étant
pas continue en 0, cette application n'est continue en aucun point de E.