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Limite et continuité dans un espace métrique
Pour tout

l f(ip) - f( 1 ( cos(ip(x)) - cos( ::;; fo
1 jcos(ip(x)) - cos( Pour tout x E [O, 1], le théorème des accroissements finis <1 4 > appliqué à la fonction cosinus entre cos(ip(x)) - cos( Comme la fonction cosinus est bornée par 1, on en déduit que
l f( 1
jip(x) - ::;; [
1
sup jip(y) - la yE[a,1)
Ainsi, pour tout e E lR:f-, en prenant T/ = e on a pour tout

ll 'P - on peut en conclure que f est continue sur E.
4. Soit E le sous-espace vectoriel de C 1 ([O, 1], JR) formé des fonctions s'annulant
•
'
(15 )
en O. On cons 1 dere sur cet espace les deux normes
Ni : f E E � sup l f(x)j
xE[O ,l]
et N 2 : f E E � sup l f ' (x)j.
xE[O ,l]
Montrons que l'application identité de E muni de la norme N 2 , dans E muni de
la norme Ni est continue. Il s'agit de montrer que pour tout fa E E, l'identité
est continue en fa, c'est-à-dire d'établir pour fa E E fixé l'assertion suivante :
V'eElR� 3ry ElR� \if EE (N 2 ( ! - fo ) ::-,; ry ==> N1 (! - fa) ::;; e ) .
Pour tout x E [O, 1], on a
f(x) = f(x) - f(O) = fo
x f ' (t) dt et fa(x) = fa(x) - fa(O) = fo
x f�(t) dt.
On en déduit que
l f(x)-fo (x)j = l l
x (f ' (t) - f�(t)) dtl ::;; fo
x j f ' (t) - f� (t)j dt
::;; r sup l f ' (s) - f�(s)I dt= X sup l f ' (s) - f�(s)I ::;; N 2 (! - fa).
la sE[ a,l]
sE[ a,1]
( l (is) On vérifiera que N 2 est bien une norme sur E. On pourra consulter l'exercice 7.15 p. 409
à
· ce propos.