Séries numériques
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On en déduit que lunl � a(1 + .e)r pour tout n ;;;: : N. Comme H1+.e) < 1, la
série géométrique L n (�(l + .e)t converge. On déduit des critères de comparaison (voir le théorème 1.2) que la série L n lun l converge. On a ainsi montré
que si .e < 1, alors la série L n Un convergeait absolument.
� Supposons que la suite (vn)n de terme général Vn = \/îUJ converge vers un
réel f > 1. Notons
e:
le réel strictement positif H.e - 1). Puisque la suite (vn)n
(36)
converge vers .e , on a :
3N E N Vn E N ( n ? N ===> 1 �
-
.e l �
e:
) .
On en déduit que pour tout n E N avec n ;;;: : N,
�(f, + 1) = .e - € � � � .e + € = �(3.e - 1)
ce qui implique que lun l ? (�(1 + .e)r. Comme H.e + 1) > 1, la suite de
terme général lun l tend vers +oo. et par conséquent la série L n lun l diverge
grossièrement. On en conclut la série L n Un diverge grossièrement.
� Le cas où la suite (vn)n de terme général Vn = V\UJ tend vers +oo se traite
avec des arguments analogues, voir l'exercice 1.10.
0
Exercice 1.10 Soit (un)n une suite numérique telle que la suite de terme
général VfUJ tend vers +oo. Montrer que la série L n Un diverge grossièrement.
Exemples
1. Considérons la série L n Un de terme général Un = e - n 2 • Pour tout n EN on a
� = (e - n 2 )
!; = e - n et lim e - n
= 0 < 1.
n-+ +oo
Le critère de Cauchy permet de conclure que la série L n e - n 2 converge.
2. Considérons la série L n Un de terme général Un = (� - i�) n . Pour tout
n EN on a
et
lim � = - 2
1 < 1.
n-+ +oo
Le critère de Cauchy permet de conclure que la série L n ( � - i�r converge.
Si la suite de terme général VIUJ converge vers 1 ou si cette suite n'a pas
de limite, on ne peut pas conclure à la convergence ou à la divergence de la
série L n Un· Par exemple, pour les séries de Riemann L n �l n-°' (a E IR)
on a
� = � = n - {î = e - {îln ( n )
et pour tout réel a, cette quantité tend vers 1 quand n tend vers l'infini.
Or, on sait que si a > 1 la série converge et que si a � 1 elle diverge.