30
Séries absolument convergentes
Exemple La série de terme général Un = (-1r/n! est une série absolument
convergente car lunl = l/n! et on a établi que la série de terme général l/n!
convergeait. On a, voir p. 5 et l'exercice 1.3,
+oo 1
L n! =e mais
n =O
+oo (-1r 1
I:� = e.
n =O
1 La proposition 1.11 n'admet pas de réciproque : une série numérique peut
être convergente sans être absolument convergente. Par exemple, on a montré que la série I:: n �l (-l) n /n converge (vers - ln(2)) mais que la série
I:: n �l l/n diverge.
Remarque Si la série I:: n lun l diverge grossièrement (i.e. si la suite (lun l)n
ne converge pas vers 0) alors la série I:: n Un diverge également grossièrement.
Ceci résulte du fait que la suite (lunDn converge vers 0 si et seulement si c3sJ la
suite (un)n converge vers O.
<>
Exercice 1.9 Montrer que les séries suivantes convergent absolument.
"'
"' (-1r
"' i+i
1- L..,. sin((-l) n /n 2 )
2- L..,. n 2 +(-l) n
3 - L..,. n 2 +1
n
n
n
1.3.2 Règles de Cauchy et de D'Alembert
PROPOSITION 1.12 (Règle de Cauchy)
Soit (un)n une suite numérique telle que la suite de terme général \llUJ
converge ou tend vers +oo. On note f, = lim � {f E JR. +
U { +oo} ).
n ->+oo
- Si e < 1 alors la série I:: n Un converge absolument.
- Si e > 1 (en particulier si e = +oo) alors la série I:: n Un diverge grossièrement.
Démonstration � Supposons que la suite ( Vn )n de terme général Vn = \llUJ
converge vers un réel f, E [O, 1[. Notons e le réel strictement positif !(1 - f).
P .
1
. ( }
n
( 3 6)
msque a smte Vn n converge vers <;, on a :
3N E N 'Vn E N ( n � N ===> 1 \/iUJ - tl ::;; e) .
Pour n � N, on a -e ::;; \llUJ - f, ::;; e, c'est-à-dire
<3 5l Voir la proposition 5.4 p. 171 du Cours de première année.
<35> Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.