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Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.4
1 - L'application

Tr (AB) = Tr(AB) . Pour montrer qu'il s'agit d'une application bilinéaire il suffit
donc de montrer qu'elle est linéaire par rapport à la première variable. Pour
tout (A, B, C) E Mn(IR) 3 et pour tout (>., µ) E IR 2 , il résulte des propriétés de
1,
l" .
(117)
app ication trace que
:
. A +µ B, C) = Tr(>. AC +µ AC) = >. Tr(AC) + µ Tr(AC)
= >. cp(A, C) + µ cp(B, C) .
L'application cp est donc bien une forme bilinéaire symétrique sur Mn (IR) et par
conséquent sur Sn (IR). Par ailleurs, si A = (ai ,j ) est une matrice symétrique,
on a
n n
n n
i=l j=l
i=l j=l
Ainsi, l'application

élevés au carré est nulle si et seulement si tous les termes de la somme sont
nuls. On en conclut que cp est un produit scalaire sur Sn (!R).
2 - L'application

q�e zéro excepté en position ( 1 , n) vérifie A5 = 0 donc qu'elle n'est pas nulle.
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.5
Si on utilise le produit scalaire canonique sur !R n , l'inégalité de Cauchy-Schwarz
s'écrit
Pour (x1 , . . . , Xn) E (JR*+) n , on choisit ai = y'X;, et bi = 1/ va;_ de sorte que
l'inégalité ci-dessus devient
ce qui correspond au résultat demandé.
D'après la remarque de la p. 481, il y a égalité si et seulement si (a1 , ... , an) et
(bi , ... , bn) sont colinéaires, c'est-à-dire lorsqu'il existe >. E IR tel que
Vi E { 1, ... , n} bi = >.ai.
( llî) Voir l'exercice 5 p. 448 du Cours de première année.