Algèbre bilinéaire
8. 7 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.1
523
L'espace M 2 (IR) est un IR-espace vectoriel de dimension 4. La base canonique
est constituée des quatre matrices suivantes :
En = ( 1 0)
0 0 l
E 1 2 = ( 0 1)
0 0 l
E 2 1 = (� �)
Notons E 1 , E 2 , E3 et E 4 ces quatre matrices (dans l'ordre où elles sont décrites ci-dessus). En calculant les valeurs de chaque cp(Ei, Ej ), on obtient les
coefficients de la matrice recherchée :
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.2
On utilise la méthode de Gauss en écrivant successivement
qa(x1 , X 2 , X3) =xi + x 1 (2x 2 ) + ( (1 + a)x� + (1 +a+ a 2 )x5 - 2ax 2 x3)
= (x 1 + x 2 ) 2 + ( ax� + (1 +a+ a 2 )x5 - 2ax 2 x3 )
= Qa (X 2 , X3)
puis pour la forme quadratique fa :
On obtient finalement la décomposition suivante :
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.3
Puisque la forme quadratique qa se décompose sous la forme
le théorème 8.4 nous donne directement la signature et le rang de cette forme
quadratique :
- Si a < 0 alors t:(qa) = (2, 1) et rg(qa) = 3,
- Si a= 0 alors t:(qa) = (2, 0) et rg(qa) = 2,
- Si a > 0 alors t:(qa) = (3, O) et rg(qa) = 3.