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Algèbre bilinéaire
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519
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Fig. 14 Un cylindre parabolique (à gauche) et deux plans parallèles (à droite).
Remarque Les noms donnés à ces surfaces sont issus de la terminologie des
coniques. Par exemple, un cylindre elliptique est une surface dont l'intersection
avec certains plans (par exemple le plan d'équation z " = 0 dans la présentation
ci-dessus) est une ellipse. De la même façon, le paraboloïde hyperbolique admet
pour section avec les axes coordonnées des paraboles ou des hyperboles. . . <>
Exemple On a vu lors de l'exemple de la p. 515 que la quadrique d'équation 4z 2 + 2xy - 2x = 0 dans le repère (O; i,j, k) avait dans un autre repère
(O; i",j", k" ) orthonormé du plan pour équation x " 2 -y " 2 + 4z " 2
= O. D'après
la classification précédente, cette quadrique correspond à un cône. Pour obtenir
la forme de ce cône dans le repère ( O; i", j", k"), on peut identifier quelles sont
les courbes obtenues par intersection du cône avec des plans.
- L'intersection du cône avec le plan x " = 0, a pour équation y " = ±2z " ce
qui correspond à deux droites.
- L'intersection du cône avec le plan y " = 1, a pour équation x " 2 + 4z " 2
= 1
ce qui est l'équation d'une ellipse.
Ces informations permettent d'obtenir la représentation graphique de la quadrique de la figure 15.
. z "
y "
Fig. 15 La quadrique d'équation x"2 - y"2 + 4z"2 =O .