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Réduction des coniques et quadriques
Genre cylindrique
Si a= 0 alors l'équation (29) ne dépend plus de z
"
et on obtient
x" 2 y" 2
-;;} + é /;2
= k où é = + 1 ou é = - 1.
Lorsque k = 0, ou bien c = + 1 et l'ensemble cherché est la droite correspondant
à l'axe des z
" , ou bien é = -1 et on obtient deux plans sécants d'équation
bx" = ±ay". Lorsque k > 0, la quadrique est un cylindre elliptique (c = 1, voir
la figure 13 à gauche) ou un cylindre hyperbolique ( é = -1, voir la figure 13
à droite) . Enfin, lorsque k < 0, soit é = + 1 et on obtient l'ensemble vide, soit
é = - 1 et on obtient à nouveau un cylindre hyperbolique (en « échangeant »
les rôles de x" et de y").
z
"
·--···: ::
f :: ...... .
y"
x" ---r-Fig. 13 Cylindres elliptique (à gauche) et hyperbolique (à droite).
)(Supposons enfin que deux valeurs propres parmi À1, .À 2 et .À 3 soient nulles (par
exemple À 2
= .À 3 = 0). On se trouve dans l'une des deux situations suivantes.
Soit on peut enlever les termes constants et l'équation de la quadrique s'écrit :
x" 2 + ky" =O.
On a un cylindre parabolique (voir la figure 14 à gauche) , soit on peut ôter les
termes linéaire et l'équation de la quadrique peut s'écrire sous la forme
x" 2 = k
auquel cas selon le signe du réel k on a deux plans parallèles (k > 0, voir la
figure 14 à droite) qui dégénère en un seul plan lorsque k = 0, ou bien l'ensemble
vide si k
Réduction des coniques et quadriques
Genre cylindrique
Si a= 0 alors l'équation (29) ne dépend plus de z
"
et on obtient
x" 2 y" 2
-;;} + é /;2
= k où é = + 1 ou é = - 1.
Lorsque k = 0, ou bien c = + 1 et l'ensemble cherché est la droite correspondant
à l'axe des z
" , ou bien é = -1 et on obtient deux plans sécants d'équation
bx" = ±ay". Lorsque k > 0, la quadrique est un cylindre elliptique (c = 1, voir
la figure 13 à gauche) ou un cylindre hyperbolique ( é = -1, voir la figure 13
à droite) . Enfin, lorsque k < 0, soit é = + 1 et on obtient l'ensemble vide, soit
é = - 1 et on obtient à nouveau un cylindre hyperbolique (en « échangeant »
les rôles de x" et de y").
z
"
·--···: ::
f :: ...... .
y"
x" ---r-Fig. 13 Cylindres elliptique (à gauche) et hyperbolique (à droite).
)(Supposons enfin que deux valeurs propres parmi À1, .À 2 et .À 3 soient nulles (par
exemple À 2
= .À 3 = 0). On se trouve dans l'une des deux situations suivantes.
Soit on peut enlever les termes constants et l'équation de la quadrique s'écrit :
x" 2 + ky" =O.
On a un cylindre parabolique (voir la figure 14 à gauche) , soit on peut ôter les
termes linéaire et l'équation de la quadrique peut s'écrire sous la forme
x" 2 = k
auquel cas selon le signe du réel k on a deux plans parallèles (k > 0, voir la
figure 14 à droite) qui dégénère en un seul plan lorsque k = 0, ou bien l'ensemble
vide si k