Séries numériques
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divergente. On déduit de la proposition 1.5 que la série de Bertrand diverge
si a< 1.
� Cas a= 1 et /3 :::; O. Pour tout entier n? 3 on a (ln(n)).B ? 1 et
1
1 1
���� =
? - .
n°'(ln(n)).B n(ln(n)).B n
Comme la série harmonique L n�l � diverge, on déduit du théorème 1.2 que
la série de Bertrand diverge.
� Cas a = 1 et /3 > O . L'application f : t E [2, +oo[i--+ 1/(t ln(t)'3) est positive et décroissante donc d'après la proposition 1.6, la série de Bertrand
L n� 2 n (i n ( n ) ) P et l'intégrale généralisée Jt'" f (t) dt sont de même nature.
Considérons l'intégrale indéfinie F : x E [2, +oo[i--+ f 2
x f(t) dt. En effectuant
le changement de variable défini par : s i--+ es, on obtient
'30>
pour tout x ? 2,
1 (ln(x))
ll n(x)
F(x)
f(t) dt = f((s)) '(s) ds
(ln(2))
ln(2)
ll n(x) l
ll n(x)
=
1 ( ).B e8 ds = s - f3 ds = G(ln(x))
ln(2) es n es
ln(2)
où G : x E [ln(2), +oo(i--+ Ji: (2) s - f3 ds. L'intégrale généralisée fi�( � s - .B ds est
une intégrale généralisée de Riemann
<3•>
qui converge si et seulement si /3 > 1.
On en déduit que G, et par conséquent que F, ont une limite finie en +oo si et
seulement si /3 > 1.
D
Remarque On peut également établir la proposition 1.10 en utilisant la proposition 1.6 et les propriétés de convergence des intégrales généralisées de Bertrand établies dans le cours de première année
'32> . On pourra aussi consulter
l'exemple de la p. 31 pour une troisième façon de démontrer ce résultat. o
Exercice 1.7 Constante d'Euler
'33>
Pour n E N*, on note "fn = L� = 1 l/k- ln(n) et Un = 'Yn + l - "fn ·
1 - a) Montrer que pour tout x E iR+ on a 1 �"' < ln(l +x) < x. En déduire
que la suite bn)n est décroissante et que la série L n Un est une série à
termes négatifs.
b) Étudier la nature de la série L n Un et en déduire que la suite bn)n
converge. On note 'Y sa limite.
2 - On considère la suite (vn)n de terme général Vn = "fn - l/n. Montrer que
les suites (vn)n et bn)n sont adjacentes. En déduire une valeur approchée
de 'Y à 10 - 3 près.
3 - Justifier que L� = 1 1/k + :O ln(n).
(ao) Voir Je théorème 18.2 p. 863 du Cours de première année.
<31> voir le Cours de première année, p. 927.
<32> Voir Je Cours de première année p. 928.
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divergente. On déduit de la proposition 1.5 que la série de Bertrand diverge
si a< 1.
� Cas a= 1 et /3 :::; O. Pour tout entier n? 3 on a (ln(n)).B ? 1 et
1
1 1
���� =
? - .
n°'(ln(n)).B n(ln(n)).B n
Comme la série harmonique L n�l � diverge, on déduit du théorème 1.2 que
la série de Bertrand diverge.
� Cas a = 1 et /3 > O . L'application f : t E [2, +oo[i--+ 1/(t ln(t)'3) est positive et décroissante donc d'après la proposition 1.6, la série de Bertrand
L n� 2 n (i n ( n ) ) P et l'intégrale généralisée Jt'" f (t) dt sont de même nature.
Considérons l'intégrale indéfinie F : x E [2, +oo[i--+ f 2
x f(t) dt. En effectuant
le changement de variable défini par : s i--+ es, on obtient
'30>
pour tout x ? 2,
1 (ln(x))
ll n(x)
F(x)
f(t) dt = f((s)) '(s) ds
ln(2)
ll n(x) l
ll n(x)
=
1 ( ).B e8 ds = s - f3 ds = G(ln(x))
ln(2) es n es
ln(2)
où G : x E [ln(2), +oo(i--+ Ji: (2) s - f3 ds. L'intégrale généralisée fi�( � s - .B ds est
une intégrale généralisée de Riemann
<3•>
qui converge si et seulement si /3 > 1.
On en déduit que G, et par conséquent que F, ont une limite finie en +oo si et
seulement si /3 > 1.
D
Remarque On peut également établir la proposition 1.10 en utilisant la proposition 1.6 et les propriétés de convergence des intégrales généralisées de Bertrand établies dans le cours de première année
'32> . On pourra aussi consulter
l'exemple de la p. 31 pour une troisième façon de démontrer ce résultat. o
Exercice 1.7 Constante d'Euler
'33>
Pour n E N*, on note "fn = L� = 1 l/k- ln(n) et Un = 'Yn + l - "fn ·
1 - a) Montrer que pour tout x E iR+ on a 1 �"' < ln(l +x) < x. En déduire
que la suite bn)n est décroissante et que la série L n Un est une série à
termes négatifs.
b) Étudier la nature de la série L n Un et en déduire que la suite bn)n
converge. On note 'Y sa limite.
2 - On considère la suite (vn)n de terme général Vn = "fn - l/n. Montrer que
les suites (vn)n et bn)n sont adjacentes. En déduire une valeur approchée
de 'Y à 10 - 3 près.
3 - Justifier que L� = 1 1/k + :O ln(n).
(ao) Voir Je théorème 18.2 p. 863 du Cours de première année.
<31> voir le Cours de première année, p. 927.
<32> Voir Je Cours de première année p. 928.