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Séries réelles à termes positifs
BERTRAND, Joseph (1822, Paris - 1900, Paris).
En 1839, année où il entre à !'École Polytechnique, Joseph
Bertrand soutient une thèse de doctorat sur la théorie mathématique de l'électricité. Ingénieur au corps des Mines, il
enseigne à !'École Polytechnique et à !'École Normale. En
1856, il succède à Charles Sturm à l'Académie des Sciences
et ses talents littéraires lui ouvrent en 1874 les portes de
!'Académie Française. En 1862, il est nommé titulaire de la
chaire de physique et mathématique du Collège de France.
Les travaux de J. Bertrand sont variés. Il étudia les applications des équations différentielles à la thermodynamique.
Il travailla également sur les courbes et les surfaces puis sur
la théorie des probabilités.
DÉFINITION 1.5 (Série de Bertrand)
On appelle série de Bertrand toute série réelle de terme général n°' (l:(n)) .B
(n � 2} où a est un réel et f3 est un réel (non nul).
PROPOSITION 1.10 (Convergence des séries de Bertrand)
La série de Bertrand L n°'(l : (n)) .B où a et f3 sont deux réels converge dans
n� 2
les cas suivants :
- si a> 1;
- ou si a = 1 et f3 > 1.
Elle diverge dans les autres cas.
Démonstration On procède par disjonction de cas.
1
� Cas a> 1. On a n°' (ln(n)) .B = 0+00 (n - 'Y) où "( = � (1 +a) car
lim
n -++oo
1
n °(In( n ))ï3
1
1
= lim a - 1
=o.
n "
n -++oo n-2 -(ln(n))/3
Pour a > 1 on a � (1 +a) > 1, donc la série de terme général n - 'Y est une série
de Riemann convergente. Le corollaire 1.3 permet de conclure que la série de
Bertrand converge si a > 1.
1
Cas
1. On a lim n " (I n ( n ))�
L>
a <
1
=
n -++oo n "
et !.±g_ < 1 donc la série de terme général
2
1
lim a - 1
n-++ oo n--r(ln(n))i3
n --y est une série de
= +oo
Riemann