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Isométries et matrices orthogonales
égalité de (23) on a= 8 ± n/2 (mod 2n). La matrice U est donc l'une des
deux formes suivantes :
R = (cos(B)
e
sin(B)
- sin(B))
cos(B)
·
(cos(B)
ou Se = sin( 8)
sin(B) )
- cos(B) ·
Dans le premier cas, on a det(Re) = + 1 alors que dans le second cas, on
a det(Se) = -1. Notons que les matrices Se possède toujours deux valeurs
propres réelles distinctes (1 et - 1) . La matrice Se est donc diagonalisable <9 4 >
et s'écrit dans une base de vecteurs propres
8.3.3 Description géométrique des isométries
On dispose maintenant de deux points de vue concernant les isométries : le
point de vue des applications linéaires où une isométrie est une application
linéaire ne « changeant » pas le produit scalaire, et le point de vue matricielle
où la matrice d'une isométrie est une matrice orthogonale. On va s'intéresser
au point de vue géométrique, tout d'abord dans le cas du plan IR 2 puis dans le
cas plus général d'un espace vectoriel de dimension finie.
Du point de vue des applications linéaires, la proposition 8.27 permet de distinguer les isométries dont le déterminant <95> est + 1 de celles dont le déterminant
est -1.
DÉFINITION 8.21 Soit u une isométrie d'un espace euclidien.
X On dit que u est une rotation (ou une isométrie directe) si son déterminant
vaut + l,
X On dit que u est une isométrie indirecte si son déterminant vaut - l .
1 Contrairement à l'ensemble des isométries directes, l'ensemble des isométries
indirectes ne possède pas de structure de groupe. En effet, si deux matrices
ont pour déterminant -1 alors leur produit aura pour déterminant + 1 : le
produit de deux isométries indirectes n'est pas une isométrie indirecte.
<94> En effet, si une matrice de taille n possède exactement n valeurs propres distinctes alors
elle est diagonalisable, voir le Cours de première année, Corollaire 12.2, p. 537.
<95> Le déterminant d'un endomorphisme d'un espace vectoriel Ede dimension finie est le déterminant d'une matrice représentant cette application dans une base de E, on démontre,
voir le Cours de première année p. 526, que le déterminant ne dépend pas de la base de E
choisie.
Isométries et matrices orthogonales
égalité de (23) on a= 8 ± n/2 (mod 2n). La matrice U est donc l'une des
deux formes suivantes :
R = (cos(B)
e
sin(B)
- sin(B))
cos(B)
·
(cos(B)
ou Se = sin( 8)
sin(B) )
- cos(B) ·
Dans le premier cas, on a det(Re) = + 1 alors que dans le second cas, on
a det(Se) = -1. Notons que les matrices Se possède toujours deux valeurs
propres réelles distinctes (1 et - 1) . La matrice Se est donc diagonalisable <9 4 >
et s'écrit dans une base de vecteurs propres
8.3.3 Description géométrique des isométries
On dispose maintenant de deux points de vue concernant les isométries : le
point de vue des applications linéaires où une isométrie est une application
linéaire ne « changeant » pas le produit scalaire, et le point de vue matricielle
où la matrice d'une isométrie est une matrice orthogonale. On va s'intéresser
au point de vue géométrique, tout d'abord dans le cas du plan IR 2 puis dans le
cas plus général d'un espace vectoriel de dimension finie.
Du point de vue des applications linéaires, la proposition 8.27 permet de distinguer les isométries dont le déterminant <95> est + 1 de celles dont le déterminant
est -1.
DÉFINITION 8.21 Soit u une isométrie d'un espace euclidien.
X On dit que u est une rotation (ou une isométrie directe) si son déterminant
vaut + l,
X On dit que u est une isométrie indirecte si son déterminant vaut - l .
1 Contrairement à l'ensemble des isométries directes, l'ensemble des isométries
indirectes ne possède pas de structure de groupe. En effet, si deux matrices
ont pour déterminant -1 alors leur produit aura pour déterminant + 1 : le
produit de deux isométries indirectes n'est pas une isométrie indirecte.
<94> En effet, si une matrice de taille n possède exactement n valeurs propres distinctes alors
elle est diagonalisable, voir le Cours de première année, Corollaire 12.2, p. 537.
<95> Le déterminant d'un endomorphisme d'un espace vectoriel Ede dimension finie est le déterminant d'une matrice représentant cette application dans une base de E, on démontre,
voir le Cours de première année p. 526, que le déterminant ne dépend pas de la base de E
choisie.