Algêbre bilinéaire
497
En vertu des propriétés du produit scalaire vis-à-vis de la transposition, voir
la proposition 8.24 p. 493, on en déduit que
( t u(y), z) = (Y, UZ)JRn = (y, u(z)).
Puisque P est stable par u et que z E P, on a u(z) E P. De plus, comme
y E p l. , on en déduit que
( t u(y), z) = (y, u(z)) = O.
Ceci prouve que tu(y) E p l. .
D
Remarque La proposition 8.25 peut se traduire en terme d'applications linéaires de la façon suivante : u est une isométrie si et seulement si u est inversible et u- 1 = tu.
<>
PROPOSITION 8.27
Le déterminant d'une matrice orthogonale vaut + 1 ou - 1.
Démonstration Considérons une matrice orthogonale U. Puisque t uu = Id,
on a detCUU) = det( t U) det(U) = 1. Puisque le déterminant d'une matrice
est égale au déterminant de sa transposée <92> , on obtient ( det(U) ) 2 = 1. La
matrice U étant réelle, son déterminant est un nombre réel ; on en déduit que
det(U) = 1 ou que det(U) = - 1.
D
Remarque L'ensemble des matrices orthogonales de. déterminant + 1 est noté
SO n (IR.) ; c'est un sous-groupe <93> de (O n (IR.), x ) qui est appelé groupe spécial
orthogonal. ·
<>
Cas de la dimension 2
La troisième assertion de la proposition 8.25 indique que toutes les isométries
du plan IR. 2 s'écrivent matriciellement sous la forme
{ a 2 + b 2 = 1
avec
c 2 + d 2 = 1 .
ab + cd =O
(23)
Les deux premières égalités de (23) indiquent qu'il existe (B, cp) E [O, 27r[ 2 tel
que a = cos(B), b = sin(B), c = cos(cj>) et d = sin(cp). En utilisant la dernière
( 92) Voir le Cours de p1·emière année p. 479.
< 9 3) Rappelons, voir p. 493, que On (IR.) désigne l'ensemble des matrices orthogonales qui muni
de la multiplication des matrices est un groupe.