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Séries réelles à termes positifs
RIEMANN, Bernhard (1826, Hanovre - 1866, Selasca en Italie).
La thèse de doctorat de Bernhard Riemann, soutenue en
1851, est un travail important sur les fonctions de variables
complexes. L'œuvre de Riemann est fondamentale dans de
nombreux domaines des mathématiques : étude des surfaces,
définition de l'intégrale, équations différentielles, théorie des
nombres, séries, etc. Riemann était également profondément
attaché aux relations entre les mathématiques et la physique. On lui doit des travaux sur les théories de la chaleur,
de la lumière, de l'acoustique, etc. Riemann est mort précocement de tuberculose.
DÉFINITION 1.4 On appelle série de Riemann, toute série réelle de terme
1
général - {n E N*) où a est un réel.
n "'
En utilisant la proposition 1 .6 et les propriétés de convergence des intégrales
généralisées de Riemann établies dans le cours de première année
c2s>
, on obtient
le résultat suivant sur la convergence des séries de Riemann. Compte tenu de
l'importance de cette proposition, nous en donnons une démonstration directe
sans avoir recours aux résultats sur les intégrales généralisées de Riemann.
PROPOSITION 1.8 (Convergence des séries de Riemann)
1
La série de Riemann "°' - converge si a > 1. Elle diverge sinon.
� n"'
n �l
Démonstration On procède par disjonction de cas pour déterminer la nature
de la série de Riemann I: n �l 1/n"' en fonction de la valeur de a.
!'.": Si a < 0 alors la suite de terme général n - a tend vers +oo. Comme elle ne
converge pas vers 0, il y a divergence grossière de la série.
!'.": Si a= 0 alors la suite de terme général n-°' est la suite constante égale à 1.
Comme elle ne converge pas vers 0, il y a là encore divergence grossière de la
série.
!'.": Si a = 1, il s'agit de la série harmonique dont on a établi la divergence (voir
l'exemple de la p. 10).
<28> Voir le Cours de première année p. 927.