Séries numériques
23
A titre d'illustration, considérons la série L n� 2 n 2 l�( n) . L'application
f : x E [2, +00[1--+ x-2 1n(x)-1 est une application continue, positive et décroissante. On pourra noter que MAPLE ne sait pas déterminer explicitement la
somme de cette série en testant les instructions suivantes :
> f:=x-> (x-2*log (x) )-(-1) ;
> sum (f (n) ,n=2 .. +inf inity) ;
L'erreur commise en approchant la somme de la série par S N = L : = 2 n 2 I � ( n )
est majorée par J ;!; 00 f(t) dt. Utilisons MAPLE pour estimer cette erreur :
> EN : =int (f (x) , x=N .. +inf inity) :
> solve (EN=1E-3 ,N) ;
167 . 0027627
Ainsi, une valeur approchée à 10 - 3 près de la somme de la série est obtenue en
calculant Srns :
> evalf (sum(f (n) ,n=2 .. 168) ) ;
.6045252644
> evalf (int (f (x) , x=2 .. +inf inity) ) ;
.3786710430
On remarquera que la somme de la série L n� 2 f(n) a une valeur différente de
la valeur de l'intégrale généralisée f 2
+ 00 f (t) dt.
Il existe de nombreux critères permettant d'établir la nature d'une série à
termes positifs ; nous en avons donné les principaux. L'exercice suivant fournit
urt critère supplémentaire, d'usage moins fréquent que ceux donnés précédemment.
Exercice 1.6 Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles à termes positifs
vérifiant
3N E N \:ln E N (n � N ===> Un+i � Vn +l ) .
Un
Vn
.
U N
1 - a) Montrer que pour tout entier n � Non a Un � - x Vn.
V N
b) En déduire que si la série L n Vn converge alors la série L n Un
converge.
2 - Montrer que si la série L n Un diverge alors la série L; n Vn diverge.
1.2.3 Séries de référence
Nous venons de donner des critères de convergence d'une série par comparaison
à une autre série dont la nature est connue. Nous allons à présent introduire
des séries de référence, dont nous établirons la nature, et qui seront susceptibles
d'être utilisées dans les critères de comparaison.