C HAPITRE 8
Algèbre bilinéaire
La plupart des lois physiques, des modèles économiques, des processus biologiques sont décrits par des équations non linéaires. Une des façons les plus
simples d'étudier de tels phénomènes est de les « linéariser » (c'est-à-dire de
les approcher par des équations linéaires) . La formule de Taylor < 1 ) indique que
l'on peut approcher une fonction de lR dans lR qui est régulière, au premier
ordre par une fonction linéaire et au second ordre par une fonction « quadratique ». L'interprétation géométrique de ces approximations est la suivante :
une courbe est approchée au premier ordre par sa tangente ; au second ordre,
elle est approchée par une courbe qui s'appelle une «conique ». Les notions
relevant de l'algèbre linéaire ont été introduits dans le chap. 9 du Cours de première année. Ce chapitre est consacré à l'algèbre bilinéaire. Outre les formes
quadratiques, différentes notions relevant de l'algèbre bilinéaire seront présentées dans ce chapitre, dont celle de produit scalaire. L'algèbre bilinéaire est
donc une porte naturelle vers les notions d'orthogonalité et d'espace euclidien.
Sauf mention explicite du contraire, tous les espaces vectoriels considérés ici
sont des espaces vectoriels réels, c'est-à-dire que le corps de base est R
8.1 Formes bilinéaires et formes quadratiques
8.1.1 Formes bilinéaires
Rappelons <2) qu'une application f entre deux IR-espaces vectoriels E et F est
qualifiée d'application linéaire lorsqu'elle vérifie l'assertion suivante :
\i(x, y) E E 2 \i(,\, µ) E IR 2 f (>.x +µy) = >.f (x) + µf(y).
Sur le même principe, une application f « à deux variables » de E x E vers F
est appelée application bilinéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de
ces deux variables. Plus précisément, on a la définition suivante.
( t ) Vo ir le théorème 16.4 p. 750 du Cours de première année.
(a) Voir le Cours de première année p. 355.
Algèbre bilinéaire
La plupart des lois physiques, des modèles économiques, des processus biologiques sont décrits par des équations non linéaires. Une des façons les plus
simples d'étudier de tels phénomènes est de les « linéariser » (c'est-à-dire de
les approcher par des équations linéaires) . La formule de Taylor < 1 ) indique que
l'on peut approcher une fonction de lR dans lR qui est régulière, au premier
ordre par une fonction linéaire et au second ordre par une fonction « quadratique ». L'interprétation géométrique de ces approximations est la suivante :
une courbe est approchée au premier ordre par sa tangente ; au second ordre,
elle est approchée par une courbe qui s'appelle une «conique ». Les notions
relevant de l'algèbre linéaire ont été introduits dans le chap. 9 du Cours de première année. Ce chapitre est consacré à l'algèbre bilinéaire. Outre les formes
quadratiques, différentes notions relevant de l'algèbre bilinéaire seront présentées dans ce chapitre, dont celle de produit scalaire. L'algèbre bilinéaire est
donc une porte naturelle vers les notions d'orthogonalité et d'espace euclidien.
Sauf mention explicite du contraire, tous les espaces vectoriels considérés ici
sont des espaces vectoriels réels, c'est-à-dire que le corps de base est R
8.1 Formes bilinéaires et formes quadratiques
8.1.1 Formes bilinéaires
Rappelons <2) qu'une application f entre deux IR-espaces vectoriels E et F est
qualifiée d'application linéaire lorsqu'elle vérifie l'assertion suivante :
\i(x, y) E E 2 \i(,\, µ) E IR 2 f (>.x +µy) = >.f (x) + µf(y).
Sur le même principe, une application f « à deux variables » de E x E vers F
est appelée application bilinéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de
ces deux variables. Plus précisément, on a la définition suivante.
( t ) Vo ir le théorème 16.4 p. 750 du Cours de première année.
(a) Voir le Cours de première année p. 355.