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Solutions des exercices
b) En désignant par z le vecteur de composantes ((x1 +yi) 2 , ... , (x n +Y n ) 2 ),
la relation précédente s'écrit
n
n
N3 (x + y) 3 � L l x kl lzkl + L IYkl lzkl·
k = l
k = l
On en déduit en utilisant la relation établie à la question 2 que :
a
2
Or, N � (z) = (2=�=1l (x k + Yk ) 2 1 � )3 = ( L�=1l x k + Ykl 3 )3 = N3 (x + y) 2 ,
donc la relation précédente se réécrit
Si x + y n'est pas le vecteur nul, on en déduit en divisant par N3 (x + y) 2 que
Par ailleurs, la relation est encore vraie si x+y = 0 car on a alors N3 (x+y) = 0
et N3 (x) + N3 (Y) ;;?: O.
1
4 - Montrons que l'application N3 : x E JR. n r-+ (I: �= l l x kl 3 ) 3 est une norme
sur JR. n . L'application N3 est clairement à valeur positive et N3 (x) = 0 si et
seulement si pour tout k E {1, ... ,n} on a l x kl = 0 (on a une somme de termes
positifs) autrement dit, si et seulement si x est le vecteur nul. Par ailleurs, pour
tout À E lR et pour tout x E R n , on a
Enfin, le calcul effectué à la question précédente établit l'inégalité triangulaire :
pour tous x, y E JR. n on a N3 (x + y) � N3 (x) + N3 (y).