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Topologie dans un espace métrique
4. L'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients réels est dense dans
C 0 ([a, b] , IR) pour la distance d00 définie p. 348. Ce résultat est connu sous le
nom de théorème de Weierstrass <•9>.
Soient (E, d) un espace métrique et A et B deux sous-ensembles non vides
de E ; d'après la proposition 7.11 on a l'inclusion An B c An B mais en
général il n' y a pas égalité. En particulier, si A et B .s ont denses dans E
alors A= B = E et An B = E mais An B n'est pas nécessairement dense
dans E. Par exemple, l'ensemble Q des nombres rationnels est dense dans lR
de même que l'ensemble lR \ Q des nombres irrationnels mais Q n (IR \ Q)
qui est l'ensemble vide n'est pas dense dans R
Toutefois, on montre que si A et B sont denses dans E et si l'un des deux
ensembles est ouvert alors An B est dense dans E. Cette propriété fait l'objet
de l'exercice suivant.
Exercice 7.10 Soient (E, d) un espace métrique et A, B deux sousensembles de E. Montrer que si A et B sont denses dans E et si A est
ouvert alors An B est dense dans E.
7 . 3.3 Ensembles bornés
DÉFINITION 7.11 Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble
de E. On dit que A est borné s'il existe un élément xo dans E et un réel
strictement positif r tel que A soit inclus dans la boule fermée B(xo, r), i.e .
. ( 5 0)
si
Remarques
3xo E E 3r E JR+ Vx E A d(x,xo) � r.
1. L'inégalité triangulaire permet de vérifier que la propriété d'être bornée ne
dépend pas du choix de xo. Cela signifie en particulier que si A est borné alo rs
il existe un réel strictement positif r tel que A soit inclus dans la boule de
centre 0 et de rayon r.
2. D'après la définition 7.11, l'ensemble A n'est pas borné si
Vxo E E Vr E JR+ 3x E A d(x,xo) > r.
3. Si A et B sont deux sous-ensembles de E avec A c B et si B est borné
alors A est borné. Par ailleurs, si A est borné alors A est borné.
(4 9 )
•
WEIERSTRASS, Karl (1815, Ostenfelde - 1897, Berlm).
<5o> On obtient une définition similaire en considérant une boule ouverte au lieu d'une boule
fermée.
Topologie dans un espace métrique
4. L'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients réels est dense dans
C 0 ([a, b] , IR) pour la distance d00 définie p. 348. Ce résultat est connu sous le
nom de théorème de Weierstrass <•9>.
Soient (E, d) un espace métrique et A et B deux sous-ensembles non vides
de E ; d'après la proposition 7.11 on a l'inclusion An B c An B mais en
général il n' y a pas égalité. En particulier, si A et B .s ont denses dans E
alors A= B = E et An B = E mais An B n'est pas nécessairement dense
dans E. Par exemple, l'ensemble Q des nombres rationnels est dense dans lR
de même que l'ensemble lR \ Q des nombres irrationnels mais Q n (IR \ Q)
qui est l'ensemble vide n'est pas dense dans R
Toutefois, on montre que si A et B sont denses dans E et si l'un des deux
ensembles est ouvert alors An B est dense dans E. Cette propriété fait l'objet
de l'exercice suivant.
Exercice 7.10 Soient (E, d) un espace métrique et A, B deux sousensembles de E. Montrer que si A et B sont denses dans E et si A est
ouvert alors An B est dense dans E.
7 . 3.3 Ensembles bornés
DÉFINITION 7.11 Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble
de E. On dit que A est borné s'il existe un élément xo dans E et un réel
strictement positif r tel que A soit inclus dans la boule fermée B(xo, r), i.e .
. ( 5 0)
si
Remarques
3xo E E 3r E JR+ Vx E A d(x,xo) � r.
1. L'inégalité triangulaire permet de vérifier que la propriété d'être bornée ne
dépend pas du choix de xo. Cela signifie en particulier que si A est borné alo rs
il existe un réel strictement positif r tel que A soit inclus dans la boule de
centre 0 et de rayon r.
2. D'après la définition 7.11, l'ensemble A n'est pas borné si
Vxo E E Vr E JR+ 3x E A d(x,xo) > r.
3. Si A et B sont deux sous-ensembles de E avec A c B et si B est borné
alors A est borné. Par ailleurs, si A est borné alors A est borné.
(4 9 )
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WEIERSTRASS, Karl (1815, Ostenfelde - 1897, Berlm).
<5o> On obtient une définition similaire en considérant une boule ouverte au lieu d'une boule
fermée.