Espaces métriques et espaces vectoriels normés
381
Remarque La propriété de densité est une relation transitive : si A est dense
dans B et si B est dense dans C alors A est dense dans C. En effet, A est
dense dans B si et seulem �t si A = B et B est dense dans C si et seulement
si B = C; on a donc A = A = B = C.
o
Exemples
1. L'ensemble des rationnels Q est dense dans �, voir la proposition 3.13
p. 108 du Cours de première année. Plus généralement, l'ensemble Q n est dense
dans � n pour les distances définies p. 354.
2. Montrons que l'ensemble Ç.Cn (IK) des matrices inversibles de Mn (IK) est
dense dans Mn(IK) muni de la distance subordonnée à l'une des normes Ni
ou N00 définies à la proposition 7.5 p. 365 et notée ici li · li· Soient M une matrice
de Mn(IK) et r un réel strictement positif. Considérons l'application PM qui au
scalaire À E lK associe le déterminant de M - .XI (PM est la fonction polynomiale
associée au polynôme caractéristique <46> de M) . Le polynôme caractéristique
étant de degré n, il admet au plus c47> n racines dans !K. On peut donc trouver
un scalaire Ào E lK vérifiant 0 < l .Xo l < r et PM(Ào)-/:- O. Posons Mo = M->.oI ;
Comme PM(Ào) = det(Mo) -/:- 0, la matrice M est inversible. De plus, on a
ll M - M o ll = 1 1 .Xo I ll = l .Xo l ll i ll = l .Xo l < r .
On a donc montré que pour tout M E Mn(IK) et pour tout r E �+ , il existe
une matrice Mo E 9.Cn(IK) tel que d(Mo, M) = ll M - Mo ll < r, ce qui permet
d'affirmer que Ç.Cn (IK) est dense dans Mn(IK).
3. Montrons que l'ensemble S 00 (JK) des suites numériques nulles à partir d'un
certain rang est dense dans l'ensemble So (IK) des suites numériques qui convergent
vers 0, muni de la distance d oo : ((un)n, (vn)n) E S(IK) 2 � sup nEJ\! lun - Vn l·
Soient (un)n une suite numérique qui converge vers 0 et r E �+ . Puisque c4s>
limn-++ oo Un = 0,
3N EN Vn EN
La suite ( Vn)n définie par Vn = Un si n < N et Vn = 0 sinon, est une suite de
Soo(IK) et on a
d oo ((un)n, (vn)n) == sup lun - Vn l + sup lun - Vnl = sup lunl :::: :; ; �r < r.
n
n�N
D'après la définition 7.10, on en déduit que Soo (IK) est dense dans So (IK) pour
la distance d00 •
C45> Voir la définition 7.9 p. 378.
(46> Vo ir la définition 12.5 p. 525 du Cours de première année.
(47> Plus précisément, si IK = IC, il admet exactement n racines comptées avec multiplicité et
il admet au plus n racines si IK = IR, voir le théorème de D'Alembert-Gauss p. 248 du
Cours de première année.
(48> Vo ir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.
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Remarque La propriété de densité est une relation transitive : si A est dense
dans B et si B est dense dans C alors A est dense dans C. En effet, A est
dense dans B si et seulem �t si A = B et B est dense dans C si et seulement
si B = C; on a donc A = A = B = C.
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Exemples
1. L'ensemble des rationnels Q est dense dans �, voir la proposition 3.13
p. 108 du Cours de première année. Plus généralement, l'ensemble Q n est dense
dans � n pour les distances définies p. 354.
2. Montrons que l'ensemble Ç.Cn (IK) des matrices inversibles de Mn (IK) est
dense dans Mn(IK) muni de la distance subordonnée à l'une des normes Ni
ou N00 définies à la proposition 7.5 p. 365 et notée ici li · li· Soient M une matrice
de Mn(IK) et r un réel strictement positif. Considérons l'application PM qui au
scalaire À E lK associe le déterminant de M - .XI (PM est la fonction polynomiale
associée au polynôme caractéristique <46> de M) . Le polynôme caractéristique
étant de degré n, il admet au plus c47> n racines dans !K. On peut donc trouver
un scalaire Ào E lK vérifiant 0 < l .Xo l < r et PM(Ào)-/:- O. Posons Mo = M->.oI ;
Comme PM(Ào) = det(Mo) -/:- 0, la matrice M est inversible. De plus, on a
ll M - M o ll = 1 1 .Xo I ll = l .Xo l ll i ll = l .Xo l < r .
On a donc montré que pour tout M E Mn(IK) et pour tout r E �+ , il existe
une matrice Mo E 9.Cn(IK) tel que d(Mo, M) = ll M - Mo ll < r, ce qui permet
d'affirmer que Ç.Cn (IK) est dense dans Mn(IK).
3. Montrons que l'ensemble S 00 (JK) des suites numériques nulles à partir d'un
certain rang est dense dans l'ensemble So (IK) des suites numériques qui convergent
vers 0, muni de la distance d oo : ((un)n, (vn)n) E S(IK) 2 � sup nEJ\! lun - Vn l·
Soient (un)n une suite numérique qui converge vers 0 et r E �+ . Puisque c4s>
limn-++ oo Un = 0,
3N EN Vn EN
La suite ( Vn)n définie par Vn = Un si n < N et Vn = 0 sinon, est une suite de
Soo(IK) et on a
d oo ((un)n, (vn)n) == sup lun - Vn l + sup lun - Vnl = sup lunl :::: :; ; �r < r.
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n�N
D'après la définition 7.10, on en déduit que Soo (IK) est dense dans So (IK) pour
la distance d00 •
C45> Voir la définition 7.9 p. 378.
(46> Vo ir la définition 12.5 p. 525 du Cours de première année.
(47> Plus précisément, si IK = IC, il admet exactement n racines comptées avec multiplicité et
il admet au plus n racines si IK = IR, voir le théorème de D'Alembert-Gauss p. 248 du
Cours de première année.
(48> Vo ir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.