Séries de Fourier
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En utilisant la formule <3 5 > cos( a) - cos(b) = -2 sin( a!b ) sin( a;b ), on obtient
cos(x) - 1
cos(nx) - cos((n + l)x)
-2sin2 (!x)
2sin((n + !)x) sinC!x)
ce qui nous donne
S ' (x) =
-sin2(!x) + sin((n + !)x) sin(!x)
=
-sin(!x) + sin((n + !)x)
n
2sin2 (!x)
2sin(!x)
En utilisant la formule sin( a) - sin(b) = 2 sin( a;b ) cos( a!b ) au numérateur avec
a= (n + !)x et b = !x, on obtient pour tout x E [-7r, O[ U]O, 7r]
, ( )
sin(!nx) cos(! (n + l)x)
S X =
- �---,--'�--n
sin(!x)
c)
Comme S� (O) = n, pour x E [ O, 7rj, on a S� (x) = 0 si x E]O, 7r] et si
sin(!nx) cos(! (n + l)x) == 0, i.e. sin(!nx) = 0 ou cos(! (n + l)x) = O. Or,
(sin(!nx) = o et x E]0,7rJ) <(==? x E {
2
� 7!" ; k E {1, . .. Ern)}}
et
On en conclut que sur [ O, 7r], l'ensemble des solutions de l'équation S� (x) = 0
est
{
2k7r (2k + 1 )7r . k { l E(!!)} } . { - 7r - }
,
1
'
E ,. .. 2 U 1 .
n n+
n+
On ne peut pas dire que MAPLE soit très indiqué pour déterminer les zéros de
S� (x) :
> assume (n , integer) ;solve (sin (n*x/2) *cos ( (n+1 )*x/2) =0 ,x) ;
7r
0,
-1
n+
d) Remarquons que pour k E {O,. . ., E(n/2)}, les réels Bk et tk appartiennent à [ O, 7r]. Pour x E [ O, 7rj, on a sin(x/2) � 0 et le signe de S� (x) est celui
du numérateur T n(x) = sin(!nx) cos( !(n + l)x). Pour déterminer le signe de
Sn(tk) et celui de T n( tk), on peut avoir recours à MAPLE.
> u:= k->2*k*Pi/n : v:=k ->( 2*k+1) *Pi/ (n+1) :
> t:= k->(u(k) +v(k) )/2: s:=k->(u(k+1)+v(k) )/2:
> Tn :=(n ,x)-> sin (n*x/2) *cos ( (n+1)*x/2) :
(35) Voir le Cours de première année p. 156.