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Solutions des exercices
On peut observer le phénomène de Gibbs : au voisinage des points de discontinuité -7r, 0 et 7r, les valeurs prises par les sommes partielles de la série de
Fourier oscillent autour de la valeur � ou -�. Par ailleurs, on peut observer
qu'une augmentation de l'ordre de la somme partielle ne réduit pas l'amplitude
de l'oscillation ; toutefois, l'oscillation s'effectue sur des intervalles de plus en
plus petits.
2 - a) La suite de fonctions (S n ) n correspond à la suite des sommes partielles
associée à la série de Fourier de f. La fonction f est dérivable par morceaux
sur [-7r, 7r] puisque sur chaque intervalle ] - 7r, O[ et ]O, 7r[ elle est la restriction
des fonctions affines x r-+ -! (7r + x) et x r-+ ! (7r - x). De plus, comme f est
continue sur ] - 7r, O[ et sur JO, 7r[, d'après le théorème de Dirichlet (voir p. 322),
pour tout x E] - 7r, O[U]O, 7r[ la série Sp (f)(x) converge et a pour somme f(x).
Pour x = 0, la série Sp (f)(O) a pour somme
! lim f (x) + ! lim f (x) = 0 = f (0)
x-+O+
x-+Oet pour x = 7r, la série Sp (f)(O) a pour somme
! lim f(x) + ! lim f(x) = 0 = f(7r).
X�11'+
X�1rOn en déduit que la série de Fourier de f converge simplement sur [-7r, 7r] et a
pour somme f. La suite (S n ) n converge donc simplement sur [-7r, 7r] vers f.
La convergence de la série de Fourier de f n'est pas uniforme sur [-7r, 7r]
car f n'est pas continue sur [-7r,7r]. Comme pour tout n E N*, les fonctions
f n : x r-+ -� sin(nx) sont continues sur [-7r, 7rj, si la convergence était uniforme, la somme de la série serait continue, voir le théorème 3.7 p. 135.
b) L'application S n est dérivable sur [-7r, 7r] en tant que somme finie d'applications dérivables sur [-7r, 7r]. Pour tout x E [-7r, 7r] on a S� (x) = l:: �=l cos(kx).
On en déduit que S� (O) = l:: �= l cos(O) = n. Pour x E [-7r, O[U]O, 7r], en faisant
intervenir les propriétés des sommes de progressions géométriques, on obtient :
On a
( n ) ( 1 inx ) ( 1 inx )
S�(x) = 'Re �e ikx = 'Re e ix 1
-e . = 'Re _-: e
.
L..t
- e IX
·e I X - 1
k = l
1 - e inx
e-ix - 1
1- e inx
cos(x) - 1 - isin(x) ·
En multipliant numérateur et dénominateur par cos(x) -1 + isin(x) = e ix -1,
on obtient :
1 - e inx
e-ix - 1 (cos(x) - 1)2 + sin2(x)
e ix - 1 + ei nx - e i(n + l )x
2(1 - cos(x))
La partie réelle de cette expression vaut
S' (x) = cos(x) - 1 + cos(nx) - cos((n + l)x) .
n
2(1 - cos(x))
Solutions des exercices
On peut observer le phénomène de Gibbs : au voisinage des points de discontinuité -7r, 0 et 7r, les valeurs prises par les sommes partielles de la série de
Fourier oscillent autour de la valeur � ou -�. Par ailleurs, on peut observer
qu'une augmentation de l'ordre de la somme partielle ne réduit pas l'amplitude
de l'oscillation ; toutefois, l'oscillation s'effectue sur des intervalles de plus en
plus petits.
2 - a) La suite de fonctions (S n ) n correspond à la suite des sommes partielles
associée à la série de Fourier de f. La fonction f est dérivable par morceaux
sur [-7r, 7r] puisque sur chaque intervalle ] - 7r, O[ et ]O, 7r[ elle est la restriction
des fonctions affines x r-+ -! (7r + x) et x r-+ ! (7r - x). De plus, comme f est
continue sur ] - 7r, O[ et sur JO, 7r[, d'après le théorème de Dirichlet (voir p. 322),
pour tout x E] - 7r, O[U]O, 7r[ la série Sp (f)(x) converge et a pour somme f(x).
Pour x = 0, la série Sp (f)(O) a pour somme
! lim f (x) + ! lim f (x) = 0 = f (0)
x-+O+
x-+Oet pour x = 7r, la série Sp (f)(O) a pour somme
! lim f(x) + ! lim f(x) = 0 = f(7r).
X�11'+
X�1rOn en déduit que la série de Fourier de f converge simplement sur [-7r, 7r] et a
pour somme f. La suite (S n ) n converge donc simplement sur [-7r, 7r] vers f.
La convergence de la série de Fourier de f n'est pas uniforme sur [-7r, 7r]
car f n'est pas continue sur [-7r,7r]. Comme pour tout n E N*, les fonctions
f n : x r-+ -� sin(nx) sont continues sur [-7r, 7rj, si la convergence était uniforme, la somme de la série serait continue, voir le théorème 3.7 p. 135.
b) L'application S n est dérivable sur [-7r, 7r] en tant que somme finie d'applications dérivables sur [-7r, 7r]. Pour tout x E [-7r, 7r] on a S� (x) = l:: �=l cos(kx).
On en déduit que S� (O) = l:: �= l cos(O) = n. Pour x E [-7r, O[U]O, 7r], en faisant
intervenir les propriétés des sommes de progressions géométriques, on obtient :
On a
( n ) ( 1 inx ) ( 1 inx )
S�(x) = 'Re �e ikx = 'Re e ix 1
-e . = 'Re _-: e
.
L..t
- e IX
·e I X - 1
k = l
1 - e inx
e-ix - 1
1- e inx
cos(x) - 1 - isin(x) ·
En multipliant numérateur et dénominateur par cos(x) -1 + isin(x) = e ix -1,
on obtient :
1 - e inx
e-ix - 1 (cos(x) - 1)2 + sin2(x)
e ix - 1 + ei nx - e i(n + l )x
2(1 - cos(x))
La partie réelle de cette expression vaut
S' (x) = cos(x) - 1 + cos(nx) - cos((n + l)x) .
n
2(1 - cos(x))