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Série entière de la variable complexe
Exemples
1. La série E n z n , qui est une série géométrique de raison z, est une série entière
complexe dont tous les coefficients sont égaux à 1. Elle converge sur D(O, 1) et
sa somme est l'application z E D(O, 1) 1--t (1 - z) - 1 (voir le chap. 1 p. 3).
2. E n z 2n est une série entière complexe dont les coefficients d'ordre pair
valent 1 et les coefficients d'ordre impairs sont nuls. On parle de série entière lacunaire ; cette dénomination s'applique à toute série entière possédant
un nombre infini de termes nuls.
3. La fonction polynomiale p : z E C 1--t E %=o akz k (d E N) définit une série
entière complexe dont.les coefficients d'ordre supérieur à d sont nuls et dont les
coefficients d'ordre inférieur où égal à d sont égaux aux coefficients de même
ordre du polynôme.
4. E n � z n est une série entière complexe convergente sur C dont la somme
est la fonction exponentielle complexe, voir la section 4.7.1 du chap. 4.
5. E n \��j; ( �) 2n est une série entière complexe lacunaire qui converge sur C
(voir l'exercice 5.4 p. 244) dont la somme est appelée fo nction de Bessel d'ordre O.
Lois de composition
On peut munir l'ensemble des séries entières .Ee(C, q de deux lois de composition internes : somme ( +E.) et produit ( x E. ) définies de la manière suivante :
pour toutes séries entières E n an z n et E n bn z n on a
i) (E n an z n ) +E e (E n bn z n ) = E n Cn Z n
OÙ Cn =an +bn pour tout n EN;
ii) CEn an z n ) X E. CEn bn z n ) = E n Cn Z n où Cn = E�= O ak X bn - k pour
tout n EN.
(.Ee(C, C),+E. , xEJ est un anneau <1> commutatif. Le produit xE. est appelé
produit de Cauchy, voir la définition 1. 7 p. 38.
On peut également munir l'ensemble .Ee(C, C) d'une loi de composition externe
notée · définie de la manière suivante : pour.toute série entière E n an z n et pour
tout complexe À on a :
iii) À· (E n an z n ) = E n Cn z n où Cn =À X an pour tout n EN.
(.Ee (C, C), +E., ·) est un espace vectoriel <2> sur C. Par la suite, on notera plus
simplement + et x les deux lois +E. et x E. , le contexte précisant la signification
du symbole en tant que loi.
5.1.2 Rayon de convergence d'une série entière
En accord avec les définitions 1.2 p. 2 et 1.6 p. 28, on définit la convergence
simple et la convergence absolue d'une série entière de la manière suivante.
(lJ Vo ir la définition 2.36 p. 64 du Cours de première année.
<2> Voir le chap. 8 du Cours de première année .
Série entière de la variable complexe
Exemples
1. La série E n z n , qui est une série géométrique de raison z, est une série entière
complexe dont tous les coefficients sont égaux à 1. Elle converge sur D(O, 1) et
sa somme est l'application z E D(O, 1) 1--t (1 - z) - 1 (voir le chap. 1 p. 3).
2. E n z 2n est une série entière complexe dont les coefficients d'ordre pair
valent 1 et les coefficients d'ordre impairs sont nuls. On parle de série entière lacunaire ; cette dénomination s'applique à toute série entière possédant
un nombre infini de termes nuls.
3. La fonction polynomiale p : z E C 1--t E %=o akz k (d E N) définit une série
entière complexe dont.les coefficients d'ordre supérieur à d sont nuls et dont les
coefficients d'ordre inférieur où égal à d sont égaux aux coefficients de même
ordre du polynôme.
4. E n � z n est une série entière complexe convergente sur C dont la somme
est la fonction exponentielle complexe, voir la section 4.7.1 du chap. 4.
5. E n \��j; ( �) 2n est une série entière complexe lacunaire qui converge sur C
(voir l'exercice 5.4 p. 244) dont la somme est appelée fo nction de Bessel d'ordre O.
Lois de composition
On peut munir l'ensemble des séries entières .Ee(C, q de deux lois de composition internes : somme ( +E.) et produit ( x E. ) définies de la manière suivante :
pour toutes séries entières E n an z n et E n bn z n on a
i) (E n an z n ) +E e (E n bn z n ) = E n Cn Z n
OÙ Cn =an +bn pour tout n EN;
ii) CEn an z n ) X E. CEn bn z n ) = E n Cn Z n où Cn = E�= O ak X bn - k pour
tout n EN.
(.Ee(C, C),+E. , xEJ est un anneau <1> commutatif. Le produit xE. est appelé
produit de Cauchy, voir la définition 1. 7 p. 38.
On peut également munir l'ensemble .Ee(C, C) d'une loi de composition externe
notée · définie de la manière suivante : pour.toute série entière E n an z n et pour
tout complexe À on a :
iii) À· (E n an z n ) = E n Cn z n où Cn =À X an pour tout n EN.
(.Ee (C, C), +E., ·) est un espace vectoriel <2> sur C. Par la suite, on notera plus
simplement + et x les deux lois +E. et x E. , le contexte précisant la signification
du symbole en tant que loi.
5.1.2 Rayon de convergence d'une série entière
En accord avec les définitions 1.2 p. 2 et 1.6 p. 28, on définit la convergence
simple et la convergence absolue d'une série entière de la manière suivante.
(lJ Vo ir la définition 2.36 p. 64 du Cours de première année.
<2> Voir le chap. 8 du Cours de première année .