CHAPITRE 5
Séries entières
Une série entière de la variable complexe (resp. de la variable réelle) est une série
d'applications de fn : z �a n z
n
où pour tout n EN, an désigne un nombre complexe (resp. un
nombre réel) appelé coefficient de rang n de la série entière. Les séries entières
sont donc des cas particuliers de séries de fonctions, et les résultats généraux
concernant ies séries de fonctions s'appliquent aux séries entières. La présence
d'un chapitre spécifique consacré aux séries entières est motivée par les propriétés de convergence spécifiques que possèdent les séries entières et les liens
étroits existant entre les séries entières de la variable complexe et les fonctions
holomorphes.
Dans un premier temps, nous nous intéresserons dans ce chapitre exclusivement
aux séries entières de la variable complexe, nous contentant dans un deuxième
temps d'indiquer les différences notables existant pour les séries entières de
la variable réelle. Nous terminerons ce chapitre avec une partie consacrée à
l'utilisation des séries entières pour la résolution d'équations différentielles.
5.1 Série entière de la variable complexe
5.1.1 Généralités sur les séries entières
DÉFINITION 5.1 On appelle série entière de la variable complexe (ou série
entière complexe) toute série d'applications de terme général
où an E On note l: n an z
n
la série entière dont le terme général est f n : z E C � an z
n
.
Pour tout n E N, le complexe an est appelé coefficient de rang n de la série
entière. Pour r E � + ,on note D(O, r) l'ensemble {z E C ; l z l < r } .