Fonctions complexes de la variable complexe
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et les fonctions hyperboliques de la variable réelle sont définies par les relations :
ch(x) = ë + e - x et
2
ex - e-x
sh(x) = 2
Il est alors naturel de définir les fonctions trigonométriques circulaires complexes et hyperboliques complexes de la manière suivante.
DÉFINITION 4.16
J< On appelle fonction cosinus complexe et on note cos l'application
,,.,
exp(iz) +exp(-iz) ,,.,
ZEil.. �
2
E ll.. .
J< On appelle fonction sinus complexe et on note sin l'application
,,.,
exp(iz) -exp(-iz) ,,.,
z E Il.. �
2i
E Il.. .
J< On appelle fonction cosinus hyperbolique complexe et on note ch l'application
C
exp(z) + exp(-z) C
zE �
2
E .
J< On appelle fonction sinus hyperbolique complexe et on note sh l'application
C
exp(z) - exp(-z) C
zE �
2
E .
Il résulte de manière directe de cette définition que les fonctions circulaires
complexes et hyperboliques complexes sont liées par les relations suivantes pour
tout z E C:
cos(z) = ch(iz)
ch(z) = cos(iz)
On a également les propriétés suivantes.
sin(z) = -ish(iz)
sh(z) = -isin(iz)
J< Les applications cosinus complexe et cosinus hyperbolique complexe sont des
fonctions paires. Les applications sinus complexe et sinus hyperbolique complexe sont des fonctions impaires.
J< Les applications cosinus et sinus complexes sont des fonctions périodiques
dont les périodes sont 2k7r, k E Z. Les applications cosinus et sinus hyperboliques complexes sont des fonctions périodiques dont les périodes sont 2k7ri, k E z.