208
40
20
0
-20
-40
Fonctions usuelles de la variable complexe
Partie réelle
Partie imaginaire
40
20
0
-20
-40
1G
1G
Fig. 6 Représentation graphique de la partie réelle (à gauche)
et de la partie imaginaire (à droite) de la fonction exponentielle
complexe.
Démonstration Soit z un complexe de partie réelle x et de partie imaginaire y; on a z = x - iy. On déduit de la proposition 4.20 que
exp(z) =ex (cos(-y) + i sin(-y)) =ex (cos(y) - isin(y)).
D'une part, puisque x est un réel, ex est réel et par conséquent ex =ex. D'autre
part, y étant réel, cos(y) et sin(y) sont tous les deux réels et
cos(y) - isin(y) = cos(y) + isin(y).
On en déduit que :
exp(z) = ex X (cos(y) + isin(y)) =ex X (cos(y) + isin(y)) = exp(z).
La relation exp(z) = exp(z) est démontrée pour tout z E Exercice 4. 7
1-Montrer que pour tout z E 2 - En déduire que 1 exp(z)I = 1 si et seulement si z est imaginaire pur.
4. 7 .2 Fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques complexes
0
La fonction exponentielle complexe permet d'étendre de manière naturelle à les fonctions circulaires et hyperboliques < 33 > de la variable réelle. Rappelons que
pour tout réel x on a les formules d'Euler :
e i x + e - i x
cos(x) =
2
et
e i x
_
e - i x
sin(x) =
2i ,
< 33> Voir la section 14.6 p. 642 du Cours de première année,