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Dérivabilité d'une fonction de la variable complexe
Les fonctions holomorphes possèdent la propriété de conserver les angles (on
dit qu'il s'agit de transformations conformes). Plus précisément, soit f une
application holomorphe sur un ouvert U et zo un point de U tel que f'(zo) -:/- O.
Si 11 et "( 2 sont deux arcs géométriques admettant une « tangente » en z0, alors
l'angle orienté existant entre les deux droites tangentes est le même que celui
existant entre les deux droites tangentes en f(zo) aux deux arcs géométriques
images par f de "11 et "1 2 .
Par exemple, l'application z E avons établi que le module définissait une application holomorphe en aucun
point. On peut facilement illustrer avec la commande conformal de MAPLE le
fait que les angles ne sont pas conservés par cette application, voir la représentation de gauche de la figure ci-dessous. Au contraire, l'application z E qui est holomorphe dans de la figure ci-dessous.
> with(plots) :
> conformal(z*abs(z)-2,z=-1-I .. 1+!,scaling=constrained) ;
> conformal(1/z-2,z= -1-I .. 1+I,-2*(1+I) .. 2*(1+I),scaling=constrained);
4.6.3 Dérivées successives
Soient U un ouvert non vide de sur U. Si la dérivée de f est à son tour holomorphe, on note f" ou j< 2> la dérivée
de f' qui est appelée dérivée seconde de f. On peut ainsi de proche en proche
définir pour tout n E N* la dérivée n-ième (ou d'ordre n) de f que l'on note
J< n ) _ Par convention J< 0 > = f.
Exemple On vérifie, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour
tout (n,p) E N 2 la dérivée n-ième de l'application z E z E p. p - n
--- z
(p - n) !
si p < n
si p = n
si p > n