Fonctions complexes de la variable complexe
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PROPOSITION 4.17 Soient cp une application de ]a, b[c lR dans C, U un
ouvert de C tels que cp(]a, b[) c U et f une application de U dans C.
Si cp est dérivable <2 4 > en ta E]a, b[ (resp. sur ]a, b[) et si f est holomorphe
en za = cp(ta) (resp. sur U) alors f o cp: t E]a, b[t-+ f(cp(t)) E C est déri(2 4 )
vable en ta (resp. sur ]a, b[) et
(f o cp)' (t) = cp1(t) X j'(cp(t)).
Nous allons établir un théorème des accroissements finis dans le cas des fonctions complexes de la variable complexe. Comme cela a déjà été mentionné
dans le cas des fonctions complexes de la variable réelle (théorème 4.1 p. 163),
le théorème des accroissement finis ne peut être énoncé sous forme d'égalité
comme c'est le cas pour les fonctions réelles de la variable réelle.
Étant donné deux complexes a et b, on appelle segment d'extrémités a et b,
l'ensemble, noté [a, b] , défini par
[a, b] = {ta + (1 - t)b ; t E [O, ll } = { (1 - s)a + sb ; s E [O, Il}.
THÉORÈME 4.2 (Inégalité des accroissements finis)
Soit f une application holomorphe sur un ouvert U non vide de C, a et b deux
complexes tels que le segment [a, b] soit inclus dans U. On a
lf(b) - f(a)I � lb-al sup lf'(z)I.
zE[a,b]
Démonstration Nous admettons l'existence de la quantité sup zE[a,b J lf'(z)I.
Considérons l'application cp : t E [O, 1] 1-+ /((1 - t)a + tb) E C. Comme f
est holomorphe sur U, elle est continue sur U et comme par hypothèse le
segment [a, b] est inclus dans U, cp est continue sur [O, 1) et dérivable sur JO, 1(.
Pour tout t E]O, 1[, on a cp'(t) = (b - a)f'((l - t)a + tb) et, en utilisant le
théorème 4.1, on obtient :
l
On a cp(l) = f(b), cp(O) = f(a) et
sup j (b- a)J'((l -t)a+tb)I = lb-al sup lf'((l - t)a+ tb)I = lb-al sup lf'(z) I ,
tE[ a ,1]
tE[ a ,lj
zE[a,b)
ce qui établit l'inégalité des accroissements finis.
<24> Voir p. 161 pour la notion de dérivabilité pour une application de lR dans IC.
D
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PROPOSITION 4.17 Soient cp une application de ]a, b[c lR dans C, U un
ouvert de C tels que cp(]a, b[) c U et f une application de U dans C.
Si cp est dérivable <2 4 > en ta E]a, b[ (resp. sur ]a, b[) et si f est holomorphe
en za = cp(ta) (resp. sur U) alors f o cp: t E]a, b[t-+ f(cp(t)) E C est déri(2 4 )
vable en ta (resp. sur ]a, b[) et
(f o cp)' (t) = cp1(t) X j'(cp(t)).
Nous allons établir un théorème des accroissements finis dans le cas des fonctions complexes de la variable complexe. Comme cela a déjà été mentionné
dans le cas des fonctions complexes de la variable réelle (théorème 4.1 p. 163),
le théorème des accroissement finis ne peut être énoncé sous forme d'égalité
comme c'est le cas pour les fonctions réelles de la variable réelle.
Étant donné deux complexes a et b, on appelle segment d'extrémités a et b,
l'ensemble, noté [a, b] , défini par
[a, b] = {ta + (1 - t)b ; t E [O, ll } = { (1 - s)a + sb ; s E [O, Il}.
THÉORÈME 4.2 (Inégalité des accroissements finis)
Soit f une application holomorphe sur un ouvert U non vide de C, a et b deux
complexes tels que le segment [a, b] soit inclus dans U. On a
lf(b) - f(a)I � lb-al sup lf'(z)I.
zE[a,b]
Démonstration Nous admettons l'existence de la quantité sup zE[a,b J lf'(z)I.
Considérons l'application cp : t E [O, 1] 1-+ /((1 - t)a + tb) E C. Comme f
est holomorphe sur U, elle est continue sur U et comme par hypothèse le
segment [a, b] est inclus dans U, cp est continue sur [O, 1) et dérivable sur JO, 1(.
Pour tout t E]O, 1[, on a cp'(t) = (b - a)f'((l - t)a + tb) et, en utilisant le
théorème 4.1, on obtient :
l
On a cp(l) = f(b), cp(O) = f(a) et
sup j (b- a)J'((l -t)a+tb)I = lb-al sup lf'((l - t)a+ tb)I = lb-al sup lf'(z) I ,
tE[ a ,1]
tE[ a ,lj
zE[a,b)
ce qui établit l'inégalité des accroissements finis.
<24> Voir p. 161 pour la notion de dérivabilité pour une application de lR dans IC.
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