Fonctions complexes de la variable complexe
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D'a près la seconde inégalité triangulaire, on a llf(z)I - IRll ::::; lf(z) - RI. On
déduit alors de (2) que
Autrement dit l'application lfl admet pour limite en zo le réel Ill.
!'.'.: Supposons que f admette pour limite e en Zo et montrons que pour tout
>. E C, l'application À· f admet pour limite >.f en zo, i.e. montrons que
Vé E �+ 3 7 7 E �+ \:/z EU (lz - zo l::::; 17 ==? l>.f(z) - >.fi::::; é ). (3)
Si À = 0 alors l>.f(z) - >.RI = 0 ::::; é pour tout é E �+ et l'assertion (3) est
évidente. Si À E C*, alors pour tout é E �+, on a d'après l'assertion (2)
317 E �+ \:/z EU (lz - zo l ::::; 17 ==? lf(z) - f i ::::; � é ).
Comme l>.f(z) - >.RI = l>.llf(z) - fi , on en déduit que pour tout z E U avec
lz - zo l::::; 17 on a 1>.f(z) - >.RI::::; é et l'assertion (3) est vraie.
!'.'.: Intéressons-nous à la troisième assertion. Soit é E �'f- fixé ; puisque f admet
pour limite f en Zo et que g admet pour limite f' en ZQ, on a
et
3 7 7 2 E �+ \:/z EU (lz - zo l::::; 7 ] 2 ==? lf(z) - fi::::; �é).
Pour z E D(zo, 17i ) on a lf(z) - R I ::::; �é et pour z E D(zo, 17 2 ) on a
lg(z) - R' I ::::; �é. Ainsi pour tout réel z E U tel que lz - zol ::::; min{ 7 71 , 11 2 }
on a
I U(z) + g(z)) - (f + e') I ::::; I J(z) - R I + lg(z) - l ' i ::::; �é + �é = é .
On en conclut que si f admet pour limite f en zo et g admet pour limite f'
en zo, alors f + g admet pour limite e + f' en zo.
!'.'.: Les deux dernières assertions plus longues à établir sont admises.
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PROPOSITION 4.6 (Limite de la composée de 2 applications)
Soient U un ouvert non vide de C et z0 un point adhérent à U. On considère
une application f de U dans C, un ouvert V de C tel que f(U) c V et une
application g de V dans C.
Si f admet pour limite Wo en Zo et si g admet pour limite e en Wo alors g 0 f
admet pour limite e en zo.