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Limite d'une fonction de la variable complexe
n'a pas de limite en zo. Considérons la suite (u n ) n de terme général
U n = zo + _i, Cette suite converge vers zo et on a pour tout n E N*,
n
f(u n ) =
Im(u n ) - Im(zo) = -i.
U n - Zo
Par conséquent la suite de terme général f(u n ) converge vers -i.
Considérons à présent la suite (v n ) n de terme général Vn = zo + *· Cette suite
converge vers zo et on a pour tout n E N*,
f(v n ) =
Im(v n ) - Im(zo) =O.
Vn - zo
Par conséquent, la suite de terme général f(v n ) converge vers O. On peut affirmer d'après la proposition 4.4 que f n'a pas de limite en z0.
2. Montrons que quel que soit le complexe zo l'application
z- zo
f: z E C \ {zo} 1---4 -z - Zo
n'a pas de limite en zo. Considérons la suite (u n ) n de terme général
U n = *e in + zo. Cette suite converge vers zo et pour tout n EN* on a,
f ( )
_
u;; - Zo _ -2 in
U n -
- e .
U n - zo
Comme e- 2 in = cos(2n) - isin(2n) n . 'a pas de limite quand n tend vers +oo,
la suite de terme général f(u n ) diverge. On en déduit que f n'a pas de limite
en zo .
PROPOSITION 4.5 (Propriétés algébriques)
Soient U un ouvert non vide de C et zo un point adhérent à U. Soient f et g
deux applications de U dans C telles que f ait pour limite f en Zo et g ait
pour limite e' en zo . On a les propriétés suivantes :
1. lim lf(z)I = lfl ;
Z--+Zo
2. VÀ E C lim ( A· f)(z) = ').f,;
Z--+Zo
3. lim (f +g)(z) =f+e' ;
Z-tZQ
4. lim (j X g) ( Z) = f, f' ;
z--+zo
5. si de plus on suppose que e' -:/- 0 alors lim f_ ( z) = �.
z-+zo g
�
Démonstration � Supposons que f admette pour limite en Zo le complexe e;
on a alors
Ve ER� 317" ER� Vz EU (lz - zo l � 1J.: ==> lf(z) - f i� e) . (2)