Séries de fonctions
129
1 Convergence uniforme sur X 1
1 Convergence normale sur X 1
-
1 Convergence simple sur X 1
1 Convergence absolue sur X 1
On notera qu'il n'y a pas de lien entre la convergence uniforme et la convergence absolue. Nous avons par exemple vu que la série de fonctions L: n f n de
terme général fn : x � (-�) n x n convergeait uniformément sur [O, l] mais ne
convergeait pas absolument sur [O, l] (mais seulement sur (0, l[) alors que la série de fonctions L: n fn de terme général fn : x � ;hx n convergeait absolument
sur lR mais ne convergeait pas uniformément sur lR (mais seulement sur [-r, r]
pour tout r E JR+) .
Exercice 3.4
Soit Un)n une suite d'applications dérivables de [a, b]
dans JR. On suppose que la série numérique L: n fn(a) converge absolument
et que la série de fonctions L: n f� converge normalement sur [ a, b]. En utilisant le théorème des accroissements finis C8l , montrer que la série de fonctions
L: n fn converge normalement sur [a, b].
La fonction ( de Riemann
Intéressons-nous à la fonction ( (zeta) de Riemann qui est la somme de la série
de fonctions de terme général fn : x � l/n x .
Puisque la série de Riemann L: n l/na converge si et seulement si a > 1, il
y a convergence simple (et absolue car fn est à valeurs positives) de la série
de fonctions L: n l/n x sur ]l, +oo[ et divergence sur ] - oo, l]. L'ensemble de
définition de la fonction (de Riemann est ]1, +oo[.
La série d'applications L: n fn ne converge pas uniformément sur ]1, +oo[ . Pour
l'établir, montrons que la série de fonctions L: n f n ne satisfait pas au critère
de Cauchy uniforme donné par le théorème 3.2. Montrons que :
'v'N EN 3(m, n) E N 2
(5)
Pour (m, n) E N 2 avec n � m, l'application est positive et décroissante (c'est une somme finie d'applications positives et
( 8 ) Voir le théorème 16.2 p. 731 du Cours de première année.
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1 Convergence uniforme sur X 1
1 Convergence normale sur X 1
-
1 Convergence simple sur X 1
1 Convergence absolue sur X 1
On notera qu'il n'y a pas de lien entre la convergence uniforme et la convergence absolue. Nous avons par exemple vu que la série de fonctions L: n f n de
terme général fn : x � (-�) n x n convergeait uniformément sur [O, l] mais ne
convergeait pas absolument sur [O, l] (mais seulement sur (0, l[) alors que la série de fonctions L: n fn de terme général fn : x � ;hx n convergeait absolument
sur lR mais ne convergeait pas uniformément sur lR (mais seulement sur [-r, r]
pour tout r E JR+) .
Exercice 3.4
Soit Un)n une suite d'applications dérivables de [a, b]
dans JR. On suppose que la série numérique L: n fn(a) converge absolument
et que la série de fonctions L: n f� converge normalement sur [ a, b]. En utilisant le théorème des accroissements finis C8l , montrer que la série de fonctions
L: n fn converge normalement sur [a, b].
La fonction ( de Riemann
Intéressons-nous à la fonction ( (zeta) de Riemann qui est la somme de la série
de fonctions de terme général fn : x � l/n x .
Puisque la série de Riemann L: n l/na converge si et seulement si a > 1, il
y a convergence simple (et absolue car fn est à valeurs positives) de la série
de fonctions L: n l/n x sur ]l, +oo[ et divergence sur ] - oo, l]. L'ensemble de
définition de la fonction (de Riemann est ]1, +oo[.
La série d'applications L: n fn ne converge pas uniformément sur ]1, +oo[ . Pour
l'établir, montrons que la série de fonctions L: n f n ne satisfait pas au critère
de Cauchy uniforme donné par le théorème 3.2. Montrons que :
'v'N EN 3(m, n) E N 2
(5)
Pour (m, n) E N 2 avec n � m, l'application est positive et décroissante (c'est une somme finie d'applications positives et
( 8 ) Voir le théorème 16.2 p. 731 du Cours de première année.