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Critères de convergence uniforme
converge. La série L n Un vérifie donc le critère de Cauchy pour les séries numériques, voir le théorème 1.1 p. 9, i.e.
't:/E;EIR.� 3NEN \f(m, n) EN2 (n�m�N =? 1 tukl � e) .
k=m
On déduit de la relation ( 4) que
n
\fe E IR.� 3N EN \f(m,n) E N2 ( n � m � N =? sup l L f k (x) I � e ) .
xE X k=m
La série d'applications L n f n vérifie donc le critère de Cauchy uniforme et par
conséquent elle converge uniformément sur X.
0
Remarque Il est souvent beaucoup plus simple d'étudier la convergence normale d'une série d'applications que d'étudier sa convergence uniforme. D'un
point de vue pratique, lorsque l'on cherche à montrer qu'une série converge
uniformément on regarde dans un premier temps si cette série converge normalement. Si c'est le cas on peut conclure à la convergence uniforme. On sera
vigilant au fait que si la série ne converge pas normalement, elle peut toutefois converger uniformément (c'est le cas comme nous l'avons vu de la série
de fonctions L n (-1 r x
n /n qui converge uniformément sur [O, 1 J mais qui ne
converge pas normalement sur cet intervalle). Pour établir la convergence uniforme dans le cas où il n'y a pas convergence normale, il faut avoir recours à
d'autres critères, par exemple revenir à la définition ou utiliser les résultats qui
seront énoncés dans la suite de ce chapitre.
<>
On a le résultat suivant qui relie la convergence normale à la convergence
absolue.
THÉORÈME 3.4 Si la série d'applications L n fn de X dans lR. converge normalement sur X alors elle converge absolument sur X.
Démonstration Soit Un)n une suite d'applications de X dans lR. telle que la
série L n f n converge normalement sur X, i.e. telle que la série numérique de
terme général sup yEX l fn (Y) I converge. Pour tous n EN et x EX on a
0 � l fn (x) I � sup l fn (Y) I.
yEX
Pour tout x E X, la série L n / fn (x) I est donc une série numérique à termes
positifs dont le terme général est majoré par celui d'une série convergente. Le
théorème 1.2 p. 14 permet d'en déduire que la série L n / fn (x) I converge et par
conséquent que la série L n fn (x) est absolument convergente.
0
Le schéma suivant indique les liens existants entre les différents types de convergence pour une série de fonctions.
Critères de convergence uniforme
converge. La série L n Un vérifie donc le critère de Cauchy pour les séries numériques, voir le théorème 1.1 p. 9, i.e.
't:/E;EIR.� 3NEN \f(m, n) EN2 (n�m�N =? 1 tukl � e) .
k=m
On déduit de la relation ( 4) que
n
\fe E IR.� 3N EN \f(m,n) E N2 ( n � m � N =? sup l L f k (x) I � e ) .
xE X k=m
La série d'applications L n f n vérifie donc le critère de Cauchy uniforme et par
conséquent elle converge uniformément sur X.
0
Remarque Il est souvent beaucoup plus simple d'étudier la convergence normale d'une série d'applications que d'étudier sa convergence uniforme. D'un
point de vue pratique, lorsque l'on cherche à montrer qu'une série converge
uniformément on regarde dans un premier temps si cette série converge normalement. Si c'est le cas on peut conclure à la convergence uniforme. On sera
vigilant au fait que si la série ne converge pas normalement, elle peut toutefois converger uniformément (c'est le cas comme nous l'avons vu de la série
de fonctions L n (-1 r x
n /n qui converge uniformément sur [O, 1 J mais qui ne
converge pas normalement sur cet intervalle). Pour établir la convergence uniforme dans le cas où il n'y a pas convergence normale, il faut avoir recours à
d'autres critères, par exemple revenir à la définition ou utiliser les résultats qui
seront énoncés dans la suite de ce chapitre.
<>
On a le résultat suivant qui relie la convergence normale à la convergence
absolue.
THÉORÈME 3.4 Si la série d'applications L n fn de X dans lR. converge normalement sur X alors elle converge absolument sur X.
Démonstration Soit Un)n une suite d'applications de X dans lR. telle que la
série L n f n converge normalement sur X, i.e. telle que la série numérique de
terme général sup yEX l fn (Y) I converge. Pour tous n EN et x EX on a
0 � l fn (x) I � sup l fn (Y) I.
yEX
Pour tout x E X, la série L n / fn (x) I est donc une série numérique à termes
positifs dont le terme général est majoré par celui d'une série convergente. Le
théorème 1.2 p. 14 permet d'en déduire que la série L n / fn (x) I converge et par
conséquent que la série L n fn (x) est absolument convergente.
0
Le schéma suivant indique les liens existants entre les différents types de convergence pour une série de fonctions.