Séries de fonctions
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Exemple Nous avons vu p. 117 que la série d'applications L n f n de terme
général f n : x E iR:+ i--+ ne- n x converge simplement sur iR+. Pour n EN, on a
sup lfn (x) - O I = sup (ne- n x) = n
xER+
x E�+
et cette quantité ne tend pas vers 0 quand n tend vers +oo. Cela signifie que
la suite d'applications Un )n ne converge pas uniformément vers l'application
nulle sur iR:+ ; d'après la proposition 3.7, on en conclut que la série d'applications
L n f n ne converge pas uniformément sur iR:+.
Dans la proposition 3.7, la condition de convergence uniforme de la suite d'applications Un)n de X dans lR vers l'application nulle est une condition nécessaire pour que la série Lm fn converge uniformément sur X. Cette condition
n'est toutefois pas suffisante. Par exemple, l'exercice 3.2 a permis de montrer
que la série d'applications L n fn de terme général fn : x E JR +
i--+ x/(1 + x2 r
ne converge pas uniformément sur JR + alors que l'on a établi au cours de l'exercice 2.2 p. 78, que la suite d'applications Un )n converge uniformément sur IR,
et donc sur JR + , vers l'application nulle.
3.2 Critères de convergence uniforme
Lorsqu'on étudie une série d'applications, il est assez rare que l'on puisse déterminer l'application qui est la somme de la série. Établir la convergence uniforme
d'une série d'applications en utilisant la définition 3.4, ou la proposition 3.5, est
alors impossible. Nous allons donc à présent établir des critères qui permettent
de montrer qu'une série d'applications converge uniformément sans qu'il soit
nécessaire de déterminer au préalable la somme de cette série.
3.2.1 Convergence normale
DÉFINITION 3.5 On dit que la série d'applications L n fn de X dans lR
converge normalement sur X si
- à partir d'un certain rang N toutes les applications f n sont bornées <6> sur X
- et la série numérique L n ;;,:
N
Un de terme général Un = sup x EX lfn (x) I
converge.
Remarque On notera que la série L n Un est une série numérique à termes
positifs. La nature de cette série peut être établie en utilisant les critères de
convergence pour les séries à termes positifs détaillés au chap. 1.
o
<6> Sous forme d'assertion quantifiée cela se traduit de la manière suivante :
3N E N Vn E N (n � N => 3Mn E JR + \:lx E X lfn (x)I ::;; Mn ) ·
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Exemple Nous avons vu p. 117 que la série d'applications L n f n de terme
général f n : x E iR:+ i--+ ne- n x converge simplement sur iR+. Pour n EN, on a
sup lfn (x) - O I = sup (ne- n x) = n
xER+
x E�+
et cette quantité ne tend pas vers 0 quand n tend vers +oo. Cela signifie que
la suite d'applications Un )n ne converge pas uniformément vers l'application
nulle sur iR:+ ; d'après la proposition 3.7, on en conclut que la série d'applications
L n f n ne converge pas uniformément sur iR:+.
Dans la proposition 3.7, la condition de convergence uniforme de la suite d'applications Un)n de X dans lR vers l'application nulle est une condition nécessaire pour que la série Lm fn converge uniformément sur X. Cette condition
n'est toutefois pas suffisante. Par exemple, l'exercice 3.2 a permis de montrer
que la série d'applications L n fn de terme général fn : x E JR +
i--+ x/(1 + x2 r
ne converge pas uniformément sur JR + alors que l'on a établi au cours de l'exercice 2.2 p. 78, que la suite d'applications Un )n converge uniformément sur IR,
et donc sur JR + , vers l'application nulle.
3.2 Critères de convergence uniforme
Lorsqu'on étudie une série d'applications, il est assez rare que l'on puisse déterminer l'application qui est la somme de la série. Établir la convergence uniforme
d'une série d'applications en utilisant la définition 3.4, ou la proposition 3.5, est
alors impossible. Nous allons donc à présent établir des critères qui permettent
de montrer qu'une série d'applications converge uniformément sans qu'il soit
nécessaire de déterminer au préalable la somme de cette série.
3.2.1 Convergence normale
DÉFINITION 3.5 On dit que la série d'applications L n fn de X dans lR
converge normalement sur X si
- à partir d'un certain rang N toutes les applications f n sont bornées <6> sur X
- et la série numérique L n ;;,:
N
Un de terme général Un = sup x EX lfn (x) I
converge.
Remarque On notera que la série L n Un est une série numérique à termes
positifs. La nature de cette série peut être établie en utilisant les critères de
convergence pour les séries à termes positifs détaillés au chap. 1.
o
<6> Sous forme d'assertion quantifiée cela se traduit de la manière suivante :
3N E N Vn E N (n � N => 3Mn E JR + \:lx E X lfn (x)I ::;; Mn ) ·