124
Convergence d'une série de fonctions
THÉORÈME 3.2 (Critère de Cauchy uniforme pour les séries)
Une condition nécessaire et suffisante pour que la série d'applications L n f n
de X dans lR converge uniformément sur X est :
Ve E IR� 3N EN V(m, n) E N 2 lvx EX 1
(n�m�N ==::} 1 tfk(x), �e) . (3)
k=m
Remarque Le critère de Cauchy uniforme pour les séries d'applications
s'énonce également de la manière suivante :
n +p
Ve E IR� 3N EN V(n,p) E N 2 Vx EX (n � N ==::} I L:!k(x)I � e),
ou encore de la manière suivante :
Ve E IR� 3N EN V(m, n) E N 2
k=n
m
(n�m�N ==::} sup,Lfk(x)l�e).
xE X k=n
Selon les situations, il peut être avantageux d'utiliser l'un ou l'autre des trois
énoncés.
0
La proposition 1.2 p. Il indique qu'une condition nécessaire pour qu'une série
numérique L n Un converge est que la suite ( un)n converge vers O. Ce résultat
implique qu'une condition nécessaire pour qu'une série d'applications L n f n
de X dans lR converge simplement sur X est que la suite d'application Un)n
converge simplement sur X vers l'application nulle. Le critère de Cauchy uniforme pour les séries d'applications va nous permettre d'établir un résultat
analogue pour la convergence uniforme.
PROPOSITION 3.7 Si la série d'applications L n fn de X dans lR converge
uniformément sur X alors la suite d'applications Un)n converge uniformément vers l'application nulle sur X.
Démonstration On applique le critère de Cauchy uniforme en prenant n = m;
on a L � =m fk(x) = fn(x) et puisque la série L n fn converge uniformément
sur X, il résulte du théorème 3.2 que
Ve E IR� 3N EN Vx EX tin EN (n � N ==::} i fn (x) i � e ) .
D'après la définition 2.2 p. 73, cette assertion indique que la suite d'applications Un)n converge uniformément vers l'application nulle sur X.
0