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Convergence d'une série de fonctions
> f_n:= (n,x)-> (-1)-n*x-n/n: phi:= x-> -ln(l+x):
> phi_n:= (n,x)-> sum(f_n(k,x),k=l .. n):
> E:=seq(2*n,n=1 .. 5):
> plot([seq(phi_n(n,x),n=E),phi(x)] ,x=-1 .. 1,y=-3 .. 3,
linestyle=[seq(DASH,n=E),SOL ID]);
-1
On pourra observer sur la figure que la série de fonctions L n f n semble également converger vers

que dans la cas de l'intervalle [O, l].
3. Considérons la série d'applications L n fn où fn : x E] - 1, 1[1-4 x n . Le terme
général de la suite ( (2)
par
Vx E] - 1, 1(
n k 1 - x n + l
= 1 - X
k=O
La suite d'applications ( et a pour somme l'application 4. Intéressons-nous à la convergence simple de la série d'applications L n f n de
terme général f n : x E] - ?r /2, 11/2(1-4 21n tan (x/2 n ). Pour tout y E]- �, O[U)O, �(
on a la relation <3 > : tan (�) = cotan (�) - 2 cotan(y). On en déduit les égalités
<2> Voir la proposition 5.21 p. 195 du Cours de première année.
<3 > On rappelle que la fonction cotangente, notée cotan, est l'inverse de la fonction tangente :
cotan = t�n . Ne pas la confondre avec la fonction arc-tangente (notée arctan) qui est la
bijection réciproque de la fonction tangente, voir le Cours de première année p. 653. Pour
établir cette relation, on pourra étudier la fonction x >--+ tan ( �) - cotan ( �) + 2 cotan(y)
et suivre la méthode utilisée dans la démonstration de la proposition 14.19 p. 655 du
Cours de première année.