Séries de fonctions
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de convergence d'une série d'applications à celles des séries numériques étudiées
au chap. 1. En particulier, on a le résultat suivant.
PROPOSITION 3.2 La série d'applications L n fn de X dans lR converge simplement sur X vers l'application x EX la série numérique L n fn (x) converge vers le réel
1. La série d'applications L n f n de terme général f n : x E lR r---+ � x n converge
simplement sur lR et a pour somme l'application exponentielle, voir les exemples
de la p. 5.
2. La série d'applications L n fn de terme général fn : x E lR r---+ (-�)" x n
converge simplement sur [O, lJ. En effet, pour tout x E [O, 1[ fixé, on a
lim 1
fn + i (x)
1 =l x l <1
n-+ +oo fn (x)
et le critère de D'Alembert permet de conclure que la série numérique L n fn (x)
converge. Par ailleurs, L n f n ( 1) est la série harmonique alternée qui est convergente. La série d'applications L n fn ( l ) converge donc simplement sur [O, lJ.
Montrons que la somme de cette série est on a la série nulle qui converge bien vers(O) = O. Intéressons-nous à la convergence sur JO, lJ. L'application
on vérifie en utilisant un raisonnement par récurrence, que la dérivée k - ième
de -
l) k ( k - 1)!
.
(1 + x) k
La for�ule de Taylor-Lagrange ci> à l'ordre n appliquée à est fixé dans )0, l], nous assure l'existence d'un réel c EJO, x[ tel que
n
k
n+I
n
k
L.,
k ! (n+l)!
L.,
k
n
k=O
k=I
( - 1 ) n + l x n+ l
n
où Rn (x) =
(
) +1 . On a donc
k=l
c EJO, xi et x EJO, lJ on a les majorations
1
x n+I
X n + l
1
O ::::; I Rn (x) I = n + 1 ( 1 + c) n+ l ::::; n + 1 ::::; n + 1
qui impliquent que limn -++oo Rn (x) = 0 pour tout x E)O, 1). On en conclut que
la somme de la série numérique L n fn (x) est(x) pour tout x EJO, 1).
On peut visualiser graphiquement la convergence de cette série d'applications
à l'aide de MAPLE.
(t) Voir le thêorême 16.4 p. 750 du Cours de première année.
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de convergence d'une série d'applications à celles des séries numériques étudiées
au chap. 1. En particulier, on a le résultat suivant.
PROPOSITION 3.2 La série d'applications L n fn de X dans lR converge simplement sur X vers l'application x EX la série numérique L n fn (x) converge vers le réel
1. La série d'applications L n f n de terme général f n : x E lR r---+ � x n converge
simplement sur lR et a pour somme l'application exponentielle, voir les exemples
de la p. 5.
2. La série d'applications L n fn de terme général fn : x E lR r---+ (-�)" x n
converge simplement sur [O, lJ. En effet, pour tout x E [O, 1[ fixé, on a
lim 1
fn + i (x)
1 =l x l <1
n-+ +oo fn (x)
et le critère de D'Alembert permet de conclure que la série numérique L n fn (x)
converge. Par ailleurs, L n f n ( 1) est la série harmonique alternée qui est convergente. La série d'applications L n fn ( l ) converge donc simplement sur [O, lJ.
Montrons que la somme de cette série est on a la série nulle qui converge bien vers
de -
l) k ( k - 1)!
.
(1 + x) k
La for�ule de Taylor-Lagrange ci> à l'ordre n appliquée à est fixé dans )0, l], nous assure l'existence d'un réel c EJO, x[ tel que
n
k
n+I
n
k
L.,
k ! (n+l)!
L.,
k
n
k=O
k=I
( - 1 ) n + l x n+ l
n
où Rn (x) =
(
) +1 . On a donc
k=l
c EJO, xi et x EJO, lJ on a les majorations
1
x n+I
X n + l
1
O ::::; I Rn (x) I = n + 1 ( 1 + c) n+ l ::::; n + 1 ::::; n + 1
qui impliquent que limn -++oo Rn (x) = 0 pour tout x E)O, 1). On en conclut que
la somme de la série numérique L n fn (x) est
On peut visualiser graphiquement la convergence de cette série d'applications
à l'aide de MAPLE.
(t) Voir le thêorême 16.4 p. 750 du Cours de première année.