Suites de fonctions
95
- S'il existe une suite (xn)n d'éléments de X convergeant vers x E X telle que
la suite de terme général fn (xn) ne converge pas vers f(x) alors la convergence de la suite Un )n vers f n'est pas uniforme sur X, voir l'exe�cice 2.6.
- La façon générale de procéder pour étudier la convergence uniforme de la
suite d'applications Un )n vers f sur l'ensemble X est de considérer < 26> la
suite numérique de terme général Un = sup x EX lfn (x) - f(x) j. Si cette suite
converge vers 0 alors il y a convergence uniforme ; dans le cas contraire, il
n'y a pas convergence uniforme. Pour déterminer la nature de la suite (un)n,
on peut :
- soit étudier la fonction Yn : x i--+ fn (x) - f(x) sur X pour déterminer
l'expression de Un puis en calculer la limite éventuelle quand n tend
vers +oo ;
- soit majorer Un par une quantité qui converge vers 0 et utiliser le théorème d'encadrement pour établir que (un)n converge vers 0 ;
- soit minorer Un par une quantité qui ne tend pas vers 0 pour établir que
(un)n ne converge pas vers O.
2.5 Exercices de synthèse
Exercice 2.9 Calcul de la valeur de J 0 + 00 e- t 2 dt
Soit Un )n la suite d'applications de terme général
si X E [0, y'nj
si x E]y'n, +oo[
b d
.
d
(27) r+oo
t 2 d
1 r;;
Le ut e cet exercice est e montrer que J 0 e- t = 2 v 1r.
1 - a) Pour n E N* fixé, étudier l'application f n ·
b) Montrer que la suite Un )n converge simplement sur [O, +oo[ vers
f : x E [O, +oo[i--+ e- x 2 •
c) Soient a un réel strictement positif fixé et n un entier strictement supérieur à E(a 2 ). Calculer sup ( 1 - exp ( x 2 + n ln(l - �)) ) .
xE(O, a ]
d) En déduire que la suite Un )n converge uniformément sur [O, a] pour tout
a E JR+.
<26> Lorsqu'elle est définie ; si la fonction 9n: x >-+ fn (x) - f(x) n'est pas bornée sur X à
partir d'un certain rang, il n'y a pas convergence uniforme de de la suite (fn)n vers f.
<27> Les primitives de la fonction f : x >--+ e-"'
2
(qui existent car f est continue sur IR,
voir le corollaire 18.2 p. 851 du Cours de première année) ne s'exprimant pas à l'aide
des fonctions usuelles, on doit avoir recours à des moyens détournés pour évaluer cette
intégrale. Cet exercice en propose un ; nous verrons également qu'il est possible d'évaluer
cette intégrale en ayant recours à des résultats sur l'intégrale des fonctions de plusieurs
variables.
95
- S'il existe une suite (xn)n d'éléments de X convergeant vers x E X telle que
la suite de terme général fn (xn) ne converge pas vers f(x) alors la convergence de la suite Un )n vers f n'est pas uniforme sur X, voir l'exe�cice 2.6.
- La façon générale de procéder pour étudier la convergence uniforme de la
suite d'applications Un )n vers f sur l'ensemble X est de considérer < 26> la
suite numérique de terme général Un = sup x EX lfn (x) - f(x) j. Si cette suite
converge vers 0 alors il y a convergence uniforme ; dans le cas contraire, il
n'y a pas convergence uniforme. Pour déterminer la nature de la suite (un)n,
on peut :
- soit étudier la fonction Yn : x i--+ fn (x) - f(x) sur X pour déterminer
l'expression de Un puis en calculer la limite éventuelle quand n tend
vers +oo ;
- soit majorer Un par une quantité qui converge vers 0 et utiliser le théorème d'encadrement pour établir que (un)n converge vers 0 ;
- soit minorer Un par une quantité qui ne tend pas vers 0 pour établir que
(un)n ne converge pas vers O.
2.5 Exercices de synthèse
Exercice 2.9 Calcul de la valeur de J 0 + 00 e- t 2 dt
Soit Un )n la suite d'applications de terme général
si X E [0, y'nj
si x E]y'n, +oo[
b d
.
d
(27) r+oo
t 2 d
1 r;;
Le ut e cet exercice est e montrer que J 0 e- t = 2 v 1r.
1 - a) Pour n E N* fixé, étudier l'application f n ·
b) Montrer que la suite Un )n converge simplement sur [O, +oo[ vers
f : x E [O, +oo[i--+ e- x 2 •
c) Soient a un réel strictement positif fixé et n un entier strictement supérieur à E(a 2 ). Calculer sup ( 1 - exp ( x 2 + n ln(l - �)) ) .
xE(O, a ]
d) En déduire que la suite Un )n converge uniformément sur [O, a] pour tout
a E JR+.
<26> Lorsqu'elle est définie ; si la fonction 9n: x >-+ fn (x) - f(x) n'est pas bornée sur X à
partir d'un certain rang, il n'y a pas convergence uniforme de de la suite (fn)n vers f.
<27> Les primitives de la fonction f : x >--+ e-"'
2
(qui existent car f est continue sur IR,
voir le corollaire 18.2 p. 851 du Cours de première année) ne s'exprimant pas à l'aide
des fonctions usuelles, on doit avoir recours à des moyens détournés pour évaluer cette
intégrale. Cet exercice en propose un ; nous verrons également qu'il est possible d'évaluer
cette intégrale en ayant recours à des résultats sur l'intégrale des fonctions de plusieurs
variables.