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Plan d'étude de la convergence d'une suite d'applications
THÉORÈME 2.6 Soit Un )n une suite d'applications de I dans R Si
1. pour tout n EN l'application fn est dérivable sur I;
2. la suite d'applications (f�)n converge simplement sur I vers une application g de I dans lR et converge uniformément vers g sur tout intervalle
fermé borné inclus dans I ;
3. il existe un réel xo E I tel que la suite numérique de terme général fn (xo)
converge simplement ;
alors la suite Un )n converge simplement sur I vers une application f qui est
dérivable sur I et qui admet pour dérivée f' = g.
Exercice 2.8
1 - Montrer que la suite d'applications Un )n de terme général
fn : x E [-1, 1] i--+
x 2 2 converge uniformément sur [-1, l].
1 + n X
2 - IVIontrer que la suite des applications dérivées (f�)n converge simplement
sur [-1, l]. La suite (f�)n converge-t-elle uniformément sur [-1, 1] ?
2.4 Plan d'étude de la convergence d'une suite d'applications
La procédure pour l'étude d'une suite d'applications Un )n d'un sous-ensemble X
de lR dans lR peut être résumée de la manière suivante.
Convergence simple
- S'il existe xo E X tel que la suite numérique réelle Un (xo))n diverge alors
la suite d'applications Un )n ne converge pas simplement sur X.
- Pour montrer que la suite d'applications Un )n converge simplement sur X,
il faut montrer que pour tout x E X la suite numérique réelle Un (x))n
converge (vers un réel f x ) . La suite d'applications Un )n converge alors simplement sur X vers l'application f: x EX 1--+ f x .
Convergence uniforme
- Si la suite d'applications Un )n ne converge pas simplement sur X, elle ne
peut pas converger uniformément sur X.
- Supposons que la suite d'applications Un )n converge simplement sur X
vers f; si la suite d'applications Un )n converge uniformément sur X, ce ne
peut être que vers f.
- Le théorème 2.3 (et parfois le théorème 2.4) peut servir à établir la nonconvergence uniforme d'une suite d'applications : si les applications f n sont
toutes continues sur X et que la limite f n'est pas continue sur X alors la
convergence de la suite d'applications Un )n vers f ne peut pas être uniforme
sur X.
Plan d'étude de la convergence d'une suite d'applications
THÉORÈME 2.6 Soit Un )n une suite d'applications de I dans R Si
1. pour tout n EN l'application fn est dérivable sur I;
2. la suite d'applications (f�)n converge simplement sur I vers une application g de I dans lR et converge uniformément vers g sur tout intervalle
fermé borné inclus dans I ;
3. il existe un réel xo E I tel que la suite numérique de terme général fn (xo)
converge simplement ;
alors la suite Un )n converge simplement sur I vers une application f qui est
dérivable sur I et qui admet pour dérivée f' = g.
Exercice 2.8
1 - Montrer que la suite d'applications Un )n de terme général
fn : x E [-1, 1] i--+
x 2 2 converge uniformément sur [-1, l].
1 + n X
2 - IVIontrer que la suite des applications dérivées (f�)n converge simplement
sur [-1, l]. La suite (f�)n converge-t-elle uniformément sur [-1, 1] ?
2.4 Plan d'étude de la convergence d'une suite d'applications
La procédure pour l'étude d'une suite d'applications Un )n d'un sous-ensemble X
de lR dans lR peut être résumée de la manière suivante.
Convergence simple
- S'il existe xo E X tel que la suite numérique réelle Un (xo))n diverge alors
la suite d'applications Un )n ne converge pas simplement sur X.
- Pour montrer que la suite d'applications Un )n converge simplement sur X,
il faut montrer que pour tout x E X la suite numérique réelle Un (x))n
converge (vers un réel f x ) . La suite d'applications Un )n converge alors simplement sur X vers l'application f: x EX 1--+ f x .
Convergence uniforme
- Si la suite d'applications Un )n ne converge pas simplement sur X, elle ne
peut pas converger uniformément sur X.
- Supposons que la suite d'applications Un )n converge simplement sur X
vers f; si la suite d'applications Un )n converge uniformément sur X, ce ne
peut être que vers f.
- Le théorème 2.3 (et parfois le théorème 2.4) peut servir à établir la nonconvergence uniforme d'une suite d'applications : si les applications f n sont
toutes continues sur X et que la limite f n'est pas continue sur X alors la
convergence de la suite d'applications Un )n vers f ne peut pas être uniforme
sur X.