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Cours de mathématiques de deuxième année
année à propos des applications linéaires. Cette partie est l'occasion de rappeler et de compléter un certain nombre de connaissances en calcul matriciel
concernant en particulier les matrices symétriques et les matrices orthogonales.
La notion d'orthogonalité est reprise dans la deuxième partie du chapitre où
sont abordées les notions de produit scalaire et d'espace euclidien. La dernière
partie du chapitre d'algèbre bilinéaire traite de la réduction des coniques et des
quadriques.
La troisième partie du cours est consacrée au calcul différentiel, partant
du cadre général de fonctions définies sur un espace métrique et allant vers les
techniques spécifiques aux fonctions définies sur :!Rn. Le chapitre 9 traite des
notions de limite et de continuité. Le théorème du point fixe, aux nombreuses
applications en mathématiques, est abordé ainsi que les propriétés de continuité des applications linéaires requises au chapitre 10 pour définir la notion
de différentielle. Dans le chapitre 10, nous avons fait le choix d'introduire la
notion générale d'application différentiable dans le cadre d'un espace vectoriel
normé, même si assez rapidement le cas de la dimension finie est abordé et la
notion de dérivée partielle introduite. Cette notion d'application différentiable
sera reprise dans le dernier chapitre du livre où seront introduites les notions
de formes différentielles largement utilisées en physique. Toujours en lien avec
les utilisations en physique, sont présentés dans ce chapitre les opérateurs di f
f érentiels usuels ainsi que le théorème d'inversion local illustré dans le cas des
changements de coordonnées courants. La dernière partie du chapitre est consacrée à la formule de Taylor et à son utilisation pour l'étude des extrema d'une
fonction de plusieurs variables réelles.
La dernière partie de l'ouvrage est consacrée au calcul intégral pour
les fonctions de plusieurs variables réelles. Le chapitre 11 aborde l'étude des
courbes et des surfaces. Il permet de préciser et de relier entre elles les différentes
notions de courbes et de surfaces (p aramétrée, cartésienne et implicite) et est
l'occasion de manipuler les résultats de calcul différentiel introduits dans la
partie précédente, en particulier la notion de gradient, le théorème d'inversion
locale et le théorème des fonctions implicites. Il est un prérequis au chapitre 13
consacré à l'intégrale curviligne et à l'intégrale surfacique. Nous introduisons
au chapitre 12 la notion d'intégrale multiple en reprenant, pour une meilleure
compréhension, l'approche qui avait été utilisée dans le Cours de première année
pour introduire l'intégrale de Riemann d'une fonction de la variable réelle.
L'intégration sur des courbes et des surfaces est l'objet du dernier chapitre. Ce
chapitre est également l'occasion de préciser certaines notions liées aux formes
différentielles permettant d'énoncer le théorème très général de Stokes dont
certains corollaires sont les formules de Green et d' Ostrogradski très utilisées
en physique.
Cours de mathématiques de deuxième année
année à propos des applications linéaires. Cette partie est l'occasion de rappeler et de compléter un certain nombre de connaissances en calcul matriciel
concernant en particulier les matrices symétriques et les matrices orthogonales.
La notion d'orthogonalité est reprise dans la deuxième partie du chapitre où
sont abordées les notions de produit scalaire et d'espace euclidien. La dernière
partie du chapitre d'algèbre bilinéaire traite de la réduction des coniques et des
quadriques.
La troisième partie du cours est consacrée au calcul différentiel, partant
du cadre général de fonctions définies sur un espace métrique et allant vers les
techniques spécifiques aux fonctions définies sur :!Rn. Le chapitre 9 traite des
notions de limite et de continuité. Le théorème du point fixe, aux nombreuses
applications en mathématiques, est abordé ainsi que les propriétés de continuité des applications linéaires requises au chapitre 10 pour définir la notion
de différentielle. Dans le chapitre 10, nous avons fait le choix d'introduire la
notion générale d'application différentiable dans le cadre d'un espace vectoriel
normé, même si assez rapidement le cas de la dimension finie est abordé et la
notion de dérivée partielle introduite. Cette notion d'application différentiable
sera reprise dans le dernier chapitre du livre où seront introduites les notions
de formes différentielles largement utilisées en physique. Toujours en lien avec
les utilisations en physique, sont présentés dans ce chapitre les opérateurs di f
f érentiels usuels ainsi que le théorème d'inversion local illustré dans le cas des
changements de coordonnées courants. La dernière partie du chapitre est consacrée à la formule de Taylor et à son utilisation pour l'étude des extrema d'une
fonction de plusieurs variables réelles.
La dernière partie de l'ouvrage est consacrée au calcul intégral pour
les fonctions de plusieurs variables réelles. Le chapitre 11 aborde l'étude des
courbes et des surfaces. Il permet de préciser et de relier entre elles les différentes
notions de courbes et de surfaces (p aramétrée, cartésienne et implicite) et est
l'occasion de manipuler les résultats de calcul différentiel introduits dans la
partie précédente, en particulier la notion de gradient, le théorème d'inversion
locale et le théorème des fonctions implicites. Il est un prérequis au chapitre 13
consacré à l'intégrale curviligne et à l'intégrale surfacique. Nous introduisons
au chapitre 12 la notion d'intégrale multiple en reprenant, pour une meilleure
compréhension, l'approche qui avait été utilisée dans le Cours de première année
pour introduire l'intégrale de Riemann d'une fonction de la variable réelle.
L'intégration sur des courbes et des surfaces est l'objet du dernier chapitre. Ce
chapitre est également l'occasion de préciser certaines notions liées aux formes
différentielles permettant d'énoncer le théorème très général de Stokes dont
certains corollaires sont les formules de Green et d' Ostrogradski très utilisées
en physique.