Suites de fonctions
83
Puisque <9l ll fn - fm ll
CXJ,X �
ll fn - J
ll
CXJ,X + ll fm - J l l
CXJ,X , on en déduit que
ll f n - f m
ll
CXJ,X � e. On a ainsi montré que :
Ve ER� 3NE EN V(m, n) E N 2 (n � m �NE ===?
ll fn - fm ll
CXJ,X � e) ,
ce qui prouve que la suite Un)n est donc uniformément de Cauchy sur X.
� Réciproquement, considérons une suite Un) n qui soit uniformément de Cauchy sur X, c'est-à-dire telle que :
Ve ER� 3NE EN V(m, n) EN 2 Vx EX
(n � m �NE ===?
l fn(x) - fm(x)I � e ) . (7)
Commençons par établir que la suite Un)n converge simplement sur X. De
l'assertion (7), on déduit que <1 0 l :
Vx EX Ve ER� 3NE EN V(m, n) EN 2
(n � m �NE ===?
l fn(x) - fm(x)I � e) ,
c'est à dire que pour tout x EX la suite numérique Un(x))n est une suite numé. d c h
( ll)
c
. . l"
l .
é .
(! ( ))
( l2)
nque e auc y . ec1 imp ique que a suite num nque n x n converge .
On peut définir une application f de X dans R qui au réel x E X associe la
limite de la suite Un(x))n.
Montrons que la suite Un)n converge uniformément sur X vers l'application f.
Soient e un réel strictement positif et (m, n) E N 2 tels que n � m � NE où
l'entier NE est défini par l'assertion (7). Pour tout x E X, on a
l fn(x) - fm(x)I � e i.e. fm(x) - e � fn(x) � fm(x) + e.
Cette inégalité est vraie pour tout n �NE; puisque la suite numérique Un(x))n
converge, l'inégalité est respectée par sa limite <1 3 J . Cette limite étant f(x), pour
tout x EX on a
f(x) - e � fn(x) � f(x) + e i.e. l fm(x) - f(x)I � e.
On a donc montré que
Ve ER� 3NE EN Vm EN Vx EX ( m �NE ===?
l fm(x) - f(x)I � e ) ,
ce qui permet de conclure que la suite Un)n converge uniformément sur X
vers f.
0
<9l Voir la proposition 2.1 p. 68.
( lo) Noter la place du bloc quantifié Vx EX .
(H) Voir la proposition 5.8 p.191 du Cours de première année.
< 12) Voir le théorème 5.4 p.191 du Cours de première année; on notera qu'il y a équivalence
entre la suite numérique (fn (x))n est une suite numérique de Cauchy et la suite numérique
(fn (x))n converge.
<1 3 > voir la proposition 5.12 p. 178 du Cours de première année.
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Puisque <9l ll fn - fm ll
CXJ,X �
ll fn - J
ll
CXJ,X + ll fm - J l l
CXJ,X , on en déduit que
ll f n - f m
ll
CXJ,X � e. On a ainsi montré que :
Ve ER� 3NE EN V(m, n) E N 2 (n � m �NE ===?
ll fn - fm ll
CXJ,X � e) ,
ce qui prouve que la suite Un)n est donc uniformément de Cauchy sur X.
� Réciproquement, considérons une suite Un) n qui soit uniformément de Cauchy sur X, c'est-à-dire telle que :
Ve ER� 3NE EN V(m, n) EN 2 Vx EX
(n � m �NE ===?
l fn(x) - fm(x)I � e ) . (7)
Commençons par établir que la suite Un)n converge simplement sur X. De
l'assertion (7), on déduit que <1 0 l :
Vx EX Ve ER� 3NE EN V(m, n) EN 2
(n � m �NE ===?
l fn(x) - fm(x)I � e) ,
c'est à dire que pour tout x EX la suite numérique Un(x))n est une suite numé. d c h
( ll)
c
. . l"
l .
é .
(! ( ))
( l2)
nque e auc y . ec1 imp ique que a suite num nque n x n converge .
On peut définir une application f de X dans R qui au réel x E X associe la
limite de la suite Un(x))n.
Montrons que la suite Un)n converge uniformément sur X vers l'application f.
Soient e un réel strictement positif et (m, n) E N 2 tels que n � m � NE où
l'entier NE est défini par l'assertion (7). Pour tout x E X, on a
l fn(x) - fm(x)I � e i.e. fm(x) - e � fn(x) � fm(x) + e.
Cette inégalité est vraie pour tout n �NE; puisque la suite numérique Un(x))n
converge, l'inégalité est respectée par sa limite <1 3 J . Cette limite étant f(x), pour
tout x EX on a
f(x) - e � fn(x) � f(x) + e i.e. l fm(x) - f(x)I � e.
On a donc montré que
Ve ER� 3NE EN Vm EN Vx EX ( m �NE ===?
l fm(x) - f(x)I � e ) ,
ce qui permet de conclure que la suite Un)n converge uniformément sur X
vers f.
0
<9l Voir la proposition 2.1 p. 68.
( lo) Noter la place du bloc quantifié Vx EX .
(H) Voir la proposition 5.8 p.191 du Cours de première année.
< 12) Voir le théorème 5.4 p.191 du Cours de première année; on notera qu'il y a équivalence
entre la suite numérique (fn (x))n est une suite numérique de Cauchy et la suite numérique
(fn (x))n converge.
<1 3 > voir la proposition 5.12 p. 178 du Cours de première année.