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Convergence simple et convergence uniforme
Puisque Un)n (resp. (gn)n) est une suite d'applications bornées de X dans lR
qui converge uniformément sur X vers f (resp. g), l'application f (resp. g)
est bornée (voir la discussion précédente) . Le théorème d'encadrement permet d'en déduire que la suite numérique (wn)n dont le terme général est
Wn = I
l (! x g) - Un x 9n)
l l oo,X converge vers O. La proposition 2.2 permet
alors de conclure que la suite d'applications de terme général f n x 9n converge
uniformément sur X vers f x g.
D
2.2.5 Critère de Cauchy pour la convergence uniforme
DÉFINITION 2.3 (Critère de Cauchy uniforme)
Une suite Un)n d'applications de X dans lR est qualifiée de suite d'applications uniformément de Cauchy sur X (ou suite d'applications vérifiant uniformément le critère de Cauchy sur X) si
'V€ E JR� 3NE EN V(m, n) E N 2 1
Vx EX
1
(n;::: m;::: NE ==}
l fn(x) - fm(x)
J � €) . (5)
Remarque L'assertion quantifiée (5) est équivalente à :
'V€ E lR� 3NE EN V(m, n) E N 2 (n ;::: m;::: NE ==} l l fn - fm ll oo,X � €) ·
On peut aussi exprimer qu'une suite d'applications Un)n est uniformément de
Cauchy sur X de la manière suivante :
'V€ E JR� 3NE EN V(n,p) E N 2 'Vx EX
(n;::: NE ==} lfn +p (x) - fn(x)
J � €) ·
<>
THÉORÈME 2.2 Une condition nécessaire et suffisante pour qu 'une suite d'ap
plications de X dans lR converge uniformément sur X est que cette suite soit
uniformément de Cauchy sur X.
Démonstration !:'.': Considérons une suite Un)n d'applications de X dans lR
qui converge uniformément sur X vers une application f de X dans JR. Soit € un
réel strictement positif ; d'après l'assertion (3) p. 74, il existe N E N tel que ( s ) :
(6)
Si m et n sont deux entiers naturels vérifiant n ;::: m ;::: N, on a d'après la
relation (6) (considérée successivement avec p =net p = m) :
(a) On considère l'assertion (3) p. 74 avec ê = �ê (sic) .