Optimisation et analyse convexe
regarder la correction dans un premier temps. Qu’il garde à l’esprit ce proverbe
chinois :
« J’entends et j’oublie, (cours oral)
je vois et je retiens, (étude du cours)
je fais et je comprends » . (exercices)
Le cadre de travail choisi est volontairement simple (celui des espaces de dimension finie), et nous avons voulu insister sur les idées et mécanismes de base
davantage que sur les généralisations possibles ou les techniques particulières à tel
ou tel contexte. Les problèmes dits variationnels requièrent dans leur traitement
une intervention plus grande de la Topologie et de l’Analyse fonctionnelle, à commencer par le cadre – fondamental – des espaces de Hilbert ; ils seront abordés
dans un prochain recueil.
Les connaissances mathématiques pour tirer profit des exercices et problèmes
du recueil présent sont maintenues minimales, celles normalement acquises après
une formation scientifique à Bac + 2 ou Bac + 3 (suivant les cas).
Chaque chapitre débute par des rappels de résultats essentiels, ce qui ne doit
pas empêcher le lecteur-étudiant d’aller consulter les références indiquées à la
fin du livre. L’approche retenue est celle d’une progression en spirale plutôt que
linéaire au sens strict : ainsi, par exemple, la fonction A ∈ M n (R) −→ ln(détA)
est d’abord considérée pour un calcul de différentielles, puis pour sa convexité,
puis plus tard en raison de son rôle comme fonction-barrière dans des problèmes
d’optimisation matricielle.
Pour ce qui est de l’enseignement, les aspects de l’Optimisation et Analyse
convexe traités en exercices ici trouvent leur place dans les formations de niveau
deuxième cycle universitaire (modules généralistes ou professionnalisés) et dans
la formation mathématique des ingénieurs, sur une durée d’un semestre environ ;
la connaissance de ces aspects est un préalable à des formations plus en aval, en
optimisation numérique par exemple.
La plupart des exercices et problèmes proposés, sinon tous, ont été posés en
séances d’exercices ou examens à l’Université Paul Sabatier de Toulouse.
Je voudrais remercier les anciens étudiants ou jeunes collègues qui ont bien
voulu relire une première version de ce document et y relever une multitude de
petites fautes (il en reste sûrement...), parmi eux : D. Mallard, M. Torki, Y. Lucet,
C. Imbert et J. Benoist. Enfin je ne voudrais pas oublier A. Andrei pour la part
primordiale qui a été la sienne dans la saisie informatique de l’ouvrage.
Toulouse, 1989–1997
J.-B. Hiriart-Urruty
vi
regarder la correction dans un premier temps. Qu’il garde à l’esprit ce proverbe
chinois :
« J’entends et j’oublie, (cours oral)
je vois et je retiens, (étude du cours)
je fais et je comprends » . (exercices)
Le cadre de travail choisi est volontairement simple (celui des espaces de dimension finie), et nous avons voulu insister sur les idées et mécanismes de base
davantage que sur les généralisations possibles ou les techniques particulières à tel
ou tel contexte. Les problèmes dits variationnels requièrent dans leur traitement
une intervention plus grande de la Topologie et de l’Analyse fonctionnelle, à commencer par le cadre – fondamental – des espaces de Hilbert ; ils seront abordés
dans un prochain recueil.
Les connaissances mathématiques pour tirer profit des exercices et problèmes
du recueil présent sont maintenues minimales, celles normalement acquises après
une formation scientifique à Bac + 2 ou Bac + 3 (suivant les cas).
Chaque chapitre débute par des rappels de résultats essentiels, ce qui ne doit
pas empêcher le lecteur-étudiant d’aller consulter les références indiquées à la
fin du livre. L’approche retenue est celle d’une progression en spirale plutôt que
linéaire au sens strict : ainsi, par exemple, la fonction A ∈ M n (R) −→ ln(détA)
est d’abord considérée pour un calcul de différentielles, puis pour sa convexité,
puis plus tard en raison de son rôle comme fonction-barrière dans des problèmes
d’optimisation matricielle.
Pour ce qui est de l’enseignement, les aspects de l’Optimisation et Analyse
convexe traités en exercices ici trouvent leur place dans les formations de niveau
deuxième cycle universitaire (modules généralistes ou professionnalisés) et dans
la formation mathématique des ingénieurs, sur une durée d’un semestre environ ;
la connaissance de ces aspects est un préalable à des formations plus en aval, en
optimisation numérique par exemple.
La plupart des exercices et problèmes proposés, sinon tous, ont été posés en
séances d’exercices ou examens à l’Université Paul Sabatier de Toulouse.
Je voudrais remercier les anciens étudiants ou jeunes collègues qui ont bien
voulu relire une première version de ce document et y relever une multitude de
petites fautes (il en reste sûrement...), parmi eux : D. Mallard, M. Torki, Y. Lucet,
C. Imbert et J. Benoist. Enfin je ne voudrais pas oublier A. Andrei pour la part
primordiale qui a été la sienne dans la saisie informatique de l’ouvrage.
Toulouse, 1989–1997
J.-B. Hiriart-Urruty
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