IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
Problèmes duaux dérivés :
(D r )
Max Θ r (λ)
λ ∈ R p ;
(D)
Max Θ(λ)
λ ∈ R p .
c) On vérifie aisément que, pour tout t ∈ R, les fonctions ϕ r (·, t) sont
concaves sur R. Par suite, la fonction L r (x, ·) est concave pour tout x ∈ R n .
Si les fonctions g j sont convexes, il en est de même des fonctions x −→
ϕ r (λ j , g j (x)) (d’accord ?) ; par conséquent la convexité de f et des fonctions
g j induisent la convexité de L r (·, λ), pour tout λ ∈ R p .
Dans ce cas on a affaire à un lagrangien augmenté L r qui est convexeconcave (et partout à valeurs finies) sur R n × R p .
Si f et les fonctions g j sont différentiables, il en est de même de la fonction
L r (·, λ) et
∇ x L r (x, λ) = ∇f (x) +
p
j=1
max
0, λ j + rg j (x)
∇g j (x).
Par contre, même si f et les g j sont deux fois différentiables, la différentiabilité
seconde de L r (·, λ) n’est pas assurée en les points x tels que λ j + rg j (x) = 0
pour un certain j.
Commentaire : Prolongement de l’exercice : Dans le cas d’un problème de minimisation convexe (Q), montrer que :
– les points-selles de L r sur R n × R p sont les mêmes que ceux de L sur R n ×
(R + ) p ;
– les solutions du problème dual augmenté (D r ) sont les mêmes que celles du
problème dual ordinaire (D).
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