Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
r
2
max
g j (x), −
λ j
r
2
+ λ j max
g j (x), −
λ j
r
=
1
2r
{[max{0, λ j +
rg j (x)}]
2
− λ
2
j } (si, si !), d’où l’expression escomptée de L r (x, λ).
b) – Voici ci-après des exemples de fonctions t −→ ϕ r (α, t).
Les fonctions ϕ r (α, ·) sont convexes, croissantes et dérivables (mais pas
deux fois dérivables). De plus, lorsque α 0,
ϕ r (α, t) αt pour tout t ∈ R (d’accord ?),
de sorte que
L r (x, λ) f (x) +
p
j=1
λ j g j (x) si λ = (λ 1 , . . . , λ p ) ∈ (R
+ )
p .
Figure 9.
Par ailleurs, de simples calculs de limites montrent :
– si α 0, ϕ r (α, t) → αt quand r → 0 + , et ce pour tout t ∈ R ;
– si α < 0, ϕ r (α, t) → −∞ quand r → 0 + , et ce pour tout t ∈ R.
En conséquence, pour tout (x, λ) ∈ R n × R p ,
lim
r→0 +
L r (x, λ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
f (x) +
p
j=1
λ j g j (x) = L(x, λ) si λ = (λ 1 , . . . , λ p ) ∈ (R
+ )
p ,
−∞ si l’un des λ j est < 0.
– Le lagrangien augmentée L r , et la fonction duale augmenté Θ r qui lui
est associée, sont naturellement définis pour tout λ ∈ R p , alors que la fonction
duale usuelle Θ n’est à considérer que pour λ ∈ (R + ) p . Si, néanmoins, on pose
Θ(λ) = −∞ pour λ /
∈ (R + ) p , il est clair que l’on a :
Θ r (λ) Θ(λ) pour tout λ ∈ R
p .
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