IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
Résumons tous les cas de figure en l’expression suivante de la fonction
duale ψ :
ψ (λ) = −
m
j=1
λ j ln λ j − −λ, b si A
λ = 0,
m
j=1
λ j = 1 et λ j 0 pour tout j ;
= −∞ sinon
(avec le prolongement habituel 0 ln 0 = 0).
Le problème dual (D) de (P) est donc :
(D)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Maximiser −
m
j=1
λ j ln λ j − −λ, b
sous les contraintes A λ = 0,
m
j=1
λ j = 1 et λ j 0 pour tout j.
** Exercice IV.12. Soit (P) le problème consistant à minimiser f (x) sous la
contrainte
x ∈ C := {x ∈ R
n
| g 1 (x) 0, . . . , g p (x) 0} .
On fait les hypothèses suivantes sur les données de (P) :
– Les fonctions f, g 1 , . . . , g p sont convexes et différentiables sur R n ;
– L’ensemble-contrainte C est borné ;
– Il existe x 0 ∈ C tel que g j (x 0 ) < 0 pour tout j = 1, . . . , p.
1 ◦ ) a) Montrer que l’intérieur de C est
◦
C = {x ∈ R
n
| g j (x) < 0 pour tout j = 1, . . . , p} .
b) Énoncer les propriétés du problème d’optimisation (P) que les hypothèses
faites induisent.
2 ◦ ) Soit
ψ : μ ∈
R
+
p −→ ψ (μ) := inf
x∈R n
⎛
⎝ f (x) +
p
j=1
μ j g j (x)
⎞
⎠
155