Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
De l’inégalité e y 1 + . . . + e ym m e max j y j , on déduit
ln
⎛
⎝
m
j=1
e
y j
⎞
⎠ − −λ, y ln m + max
j
y j −
m
j=1
λ j y j .
En prenant par exemple y j =
k
m pour tout j (ou −
k
m pour tout j) et en
faisant k → +∞, on constate aisément qu’alors
inf
y∈R m
⎧
⎨
⎩
ln
⎛
⎝
m
j=1
e
y j
⎞
⎠ − −λ, y
⎫
⎬
⎭
= −∞.
(4.3)
– Situation où l’un des λ j (disons λ j 0 ) est < 0.
En prenant y j = 0 pour j = j 0 et y j 0 = −k et en faisant k → +∞, on
arrive également à la relation (4.3) .
– Situation où
m
j=1
λ j = 1 et λ j 0 pour tout j = 1, . . . , m.
Observons tout d’abord que si J + dénote {j = 1, . . . , m | λ j > 0},
inf
y∈R m
⎧
⎨
⎩
ln
⎛
⎝
m
j=1
e
y j
⎞
⎠ − −λ, y
⎫
⎬
⎭
= inf
y∈R m
⎧
⎨
⎩
ln
⎛
⎝
j∈J +
e
y j
⎞
⎠ −
j∈J +
λ j y j
⎫
⎬
⎭
.
Il suffit donc de déterminer la borne inférieure de (4.2) dans le cas où tous
les λ j sont > 0. C’est en fait la situation où la borne inférieure de (4.2) est
finie et atteinte. En effet, la borne inférieure de (4.2) est finie et atteinte si et
seulement si le système d’optimalité suivant a une solution
e
y j
m
j=1
e
y j
= λ j pour tout j = 1, . . . , m,
c’est-à-dire si et seulement si
m
j=1
λ j = 1 et λ j > 0 pour tout j = 1, . . . , m.
Dans ce cas la borne inférieure en question vaut −
m
j=1
λ j ln λ j .
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