Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
Les formulations variationnelles suivantes de la plus grande et la plus petite
valeurs propres de S ∈ S n (R) sont essentielles :
λ max (S) = max
x = 0
Sx, x
x 2 , λ min (S) = min
x = 0
Sx, x
x 2 ·
S n (R) est muni de l’ordre (partiel) suivant : A B dans S n (R) lorsque A − B est
semi-définie positive (A − B ∈ P n (R)).
Si X ∈
◦
P n (R), la racine carrée positive de X (notée X 1/2 ) est l’unique S ∈
◦
P n (R) telle que S 2 = X. L’application X −→ X 1/2 a des propriétés similaires
à celles de la fonction racine carrée sur R +
∗ ; prudence tout de même... Mêmes
remarques pour l’application X −→ X −1 .
Si K est un cône convexe fermé d’un espace euclidien (E, ·, ··), le cône polaire
K ◦ de K est le cône convexe fermé de E défini comme suit :
K
◦ := {s ∈ E | |s, x 0 pour tout x ∈ K}.
I.2. Calcul différentiel
f : O ⊂ R n −→ R définie sur un ouvert O de R n est dite différentiable en
x ∈ O s’il existe l : R n −→ R linéaire telle que :
f (x + h) = f (x) + l(h) + h ε (h) , avec ε (h) → 0 quand h−→
=
0.
(1.1)
l est représentée (dans (R n , ·, ··) euclidien) par un unique vecteur, appelé gradient
de f en x, et noté ∇f (x) (ça se lit « nabla f de x »). Désignant par ∂ j f (x) la
dérivée partielle en x de f par rapport à la j e variable, ∇f (x) est le vecteur de
R n de composantes ∂ 1 f (x) , ..., ∂ n f (x). Une manière équivalente d’exprimer (1.1)
est :
lim
t→0 +
f (x + td) − f (x)
t
= ∇f (x) , d
(1.2)
et la convergence est uniforme par rapport à d lorsque celui-ci reste dans un
ensemble borné de R n (la sphère-unité par exemple).
Plus généralement, F : O ⊂ R n −→ R m qui à x ∈ O associe F (x) =
⎛
⎜
⎝
f 1 (x)
. . .
f m (x)
⎞
⎟
⎠ est dite différentiable en x ∈ O si chacune des fonctions-composantes
f 1 , ..., f m l’est. On appelle alors matrice jacobienne de F en x, et on note JF (x)
la matrice de M m,n (R) dont les lignes sont [∇f 1 (x)]
, ..., [∇f m (x)]
, c’est-à-dire
que le terme (i, j) de JF (x) est ∂ j f i (x) .
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Les formulations variationnelles suivantes de la plus grande et la plus petite
valeurs propres de S ∈ S n (R) sont essentielles :
λ max (S) = max
x = 0
Sx, x
x 2 , λ min (S) = min
x = 0
Sx, x
x 2 ·
S n (R) est muni de l’ordre (partiel) suivant : A B dans S n (R) lorsque A − B est
semi-définie positive (A − B ∈ P n (R)).
Si X ∈
◦
P n (R), la racine carrée positive de X (notée X 1/2 ) est l’unique S ∈
◦
P n (R) telle que S 2 = X. L’application X −→ X 1/2 a des propriétés similaires
à celles de la fonction racine carrée sur R +
∗ ; prudence tout de même... Mêmes
remarques pour l’application X −→ X −1 .
Si K est un cône convexe fermé d’un espace euclidien (E, ·, ··), le cône polaire
K ◦ de K est le cône convexe fermé de E défini comme suit :
K
◦ := {s ∈ E | |s, x 0 pour tout x ∈ K}.
I.2. Calcul différentiel
f : O ⊂ R n −→ R définie sur un ouvert O de R n est dite différentiable en
x ∈ O s’il existe l : R n −→ R linéaire telle que :
f (x + h) = f (x) + l(h) + h ε (h) , avec ε (h) → 0 quand h−→
=
0.
(1.1)
l est représentée (dans (R n , ·, ··) euclidien) par un unique vecteur, appelé gradient
de f en x, et noté ∇f (x) (ça se lit « nabla f de x »). Désignant par ∂ j f (x) la
dérivée partielle en x de f par rapport à la j e variable, ∇f (x) est le vecteur de
R n de composantes ∂ 1 f (x) , ..., ∂ n f (x). Une manière équivalente d’exprimer (1.1)
est :
lim
t→0 +
f (x + td) − f (x)
t
= ∇f (x) , d
(1.2)
et la convergence est uniforme par rapport à d lorsque celui-ci reste dans un
ensemble borné de R n (la sphère-unité par exemple).
Plus généralement, F : O ⊂ R n −→ R m qui à x ∈ O associe F (x) =
⎛
⎜
⎝
f 1 (x)
. . .
f m (x)
⎞
⎟
⎠ est dite différentiable en x ∈ O si chacune des fonctions-composantes
f 1 , ..., f m l’est. On appelle alors matrice jacobienne de F en x, et on note JF (x)
la matrice de M m,n (R) dont les lignes sont [∇f 1 (x)]
, ..., [∇f m (x)]
, c’est-à-dire
que le terme (i, j) de JF (x) est ∂ j f i (x) .
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