I
RÉVISION DE BASES : CALCUL
DIFFÉRENTIEL, ALGÈBRE LINÉAIRE
ET BILINÉAIRE
Rappels
I.1. Algèbre linéaire et bilinéaire
Si l : R n → R est linéaire, il existe un unique v ∈ R n tel que l(x) = v, x pour
tout x ∈ R n ; les fonctions affines à valeurs réelles sont de la forme x −→ →v, x+c,
où v ∈ R n et c ∈ R. Même chose si l est une forme linéaire sur un espace euclidien
(E, ·, ··) : l s’écrit de manière unique sous la forme v, ··, où v ∈ E.
Si q : R n → R est une forme quadratique, il existe un unique Q ∈ S n (R) tel
que q(x) =
1
2
Qx, x pour tout x ∈ R n (le coefficient 1/2 est mis là pour simplifier
les calculs).
Rappel du mécanisme de transposition : Ax, y = x, A y (produits scalaires
dans R m et R n respectivement).
Si H est un sous-espace vectoriel de R n , H ⊥ désigne son sous-espace orthogonal. Rappel : si A est linéaire, (KerA) ⊥ = Im(A ).
Un résultat-clé de l’Algèbre linéaire et bilinéaire : si S ∈ S n (R), toutes les
valeurs propres λ i de S sont réelles et il existe une matrice orthogonale U telle
que U SU = diag(λ 1 , . . . , λ n ) ; ainsi il existe des vecteurs propres x i unitaires (x i
associé à λ i ) tels que S =
n
i=1
λ i x i x
i (ceci est appelé une décomposition spectrale
de S).