IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
La fonction ψ, on le sait, est concave semi-continue supérieurement sur R.
Le problème dual (D) de (P) consiste ici à maximiser ψ (λ) , λ ∈ R + .
b) Supposons, pour alléger l’écriture et les notations, que nous avons la
disposition suivante : a 1 b 1 a 2 b 2 . . . a n b n . Alors :
– Si λ a n b n , ψ (λ) = −λ ;
– Si λ a 1 b 1 , ψ (λ) = −
n
i=1
a i
1 −
λ
a i b i
+ λ
n
i=1
1
b i
ln
a i b i
λ
− 1
;
– Si λ ∈ [a k b k , a k+1 b k+1 [ , ψ (λ) a l’expression suivante :
ψ (λ) =
n
i=k+1
λ
b i
− a i
+ λ
n
i=k+1
1
b i
ln
a i b i
λ
− 1
.
Ainsi ψ est dérivable sur ]a k b k , a k+1 b k+1 [ , de dérivée
ψ
(λ) =
n
i=k+1
1
b i
ln
a i b i
λ
− 1.
En observant que
lim
λ→(a k b k ) −
ψ
(λ) =
lim
λ→(a k b k ) +
ψ
(λ), on constate que ψ est
aussi dérivable en a k b k . En fait ψ est dérivable sur R +
∗ avec
ψ
(λ) =
n
i=1
1
b i
ln
a i b i
λ
+
− 1 pour tout λ > 0.
On note (sans surprise) que ψ
(λ) est égal à h (x (λ)) =
dL
dλ | x = x(λ) .
La fonction ψ
est continue sur R +
∗ , strictement décroissante sur [0, a n b n ],
et de plus :
lim
λ→0 +
ψ
(λ) = +∞ ;
ψ
(λ) = −1 pour λ a n b n .
L’équation ψ
(λ) = 0 a donc une seule solution λ (> 0), c’est évidemment
le point maximisant ψ sur R + .
La solution de (P) est donc x = x
λ
, c’est-à-dire :
⎧
⎨
⎩
x i =
1
b i
ln
a i b i
λ
pour les i tels que a i b i > λ,
x i = 0 pour les i tels que a i b i λ.
Exemple. a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 5/2
b 1 = 1, b 2 = 3/2, b 3 = 2.
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