Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
d) Si les f i sont convexes, f est convexe et les conditions de KKT précédentes caractérisent les solutions de (P).
2 ◦ ) La fonction f est strictement convexe. Il existe un et un seul x solution
de (P), caractérisé par :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x i 0 pour tout i,
n
i=1
x i = 1 ;
∃ λ ∈ R tel que : − a i b i e −b i x i + λ = 0 pour tout i tel que x i > 0,
− a i b i + λ 0 pour tout i tel que x i = 0.
On considère (x, λ) ∈ (R + )
n × R −→ L (x, λ) = f (x) + λ h(x) =
n
i=1
a i
e −b i x i − 1
+ λ
n
i=1
x i − 1
.
a) L (·, λ) a une expression « séparée » en les coordonnées x i , ce qui fait
que sa minimisation sous contraintes « séparées » (x i 0 pour tout i) s’en
trouve facilitée.
Supposons λ < 0. Puisque x i peut être pris positif arbitrairement grand, il
vient que ψ (λ) = −∞.
Si λ = 0, on a L (x, 0) = f (x) et ψ (0) = −
n
i=1
a i .
Supposons λ > 0. La fonction L (·, λ) est continue, 0-coercive, strictement
convexe sur (R + )
n : il existe donc un et un seul point x(λ) ∈ (R + )
n minimisant
L (·, λ) sur (R + )
n . Ce point x(λ) est caractérisé par le fait que
−∇ x L (x(λ), λ) ∈ N (R + )
n (x(λ)) ,
c’est-à-dire :
− a i b i e −b i x(λ) i + λ = 0 pour tout i tel que x (λ) i > 0,
a i b i − λ 0 pour tout i tel que x (λ) i = 0.
On constate que (x(λ) i > 0) équivaut à (λ < a i b i ) . En clair, x(λ) est le
vecteur de R n de composantes
1
b i
ln
a i b i
λ
+
, i = 1, . . . , n.
Par suite
ψ (λ) = L (x(λ), λ)
=
{i | x(λ) i > 0}
a i
λ
a i b i
− 1
+ λ
⎛
⎝
{i | x(λ) i > 0}
1
b i
ln
a i b i
λ
− 1
⎞
⎠
= −
n
i=1
a i
1 −
λ
a i b i
+
+ λ
n
i=1
1
b i
ln
a i b i
λ
+
− 1
.
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