Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
Parallèlement, soit x ∈ X. En faisant x 1 = x 2 = x dans (ii), il vient :
0 ∇ y l(x, y 1 ) − ∇ y l(x, y 2 ), y 1 − y 2 pour tout y 1 et y 2 dans Y,
ce qui implique la concavité de l(x, ·) sur Y.
– Dans l’exemple proposé, en tout (x i , y i ) ∈ R n × R m ,
∇ x l(x i , y i ) = P x i + R
y i et ∇ y l(x i , y i ) = Qy i + Rx i .
La condition (ii) de convexe-concavité de l sur R n × R m se traduit par :
P (x 1 − x 2 ), x 1 − x 2 − −Q(y 1 − y 2 ), y 1 − y 2 0
pour tout (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ) dans R n × R m .
Ceci est certainement vrai lorsque P est semi-définie positive et Q semi-définie
négative.
2 ◦ ) [(j) ⇔ (jj)] . (x, y) ∈ X × Y est un point-selle de l sur X × Y signifie :
x est un minimum sur X de la fonction convexe différentiable l(·, y)
et
y est un maximum sur Y de la fonction concave différentiable l(x, ·).
Ce qu’expriment les inégalités de (jj) ne sont que les conditions nécessaires
et suffisantes d’optimalité correspondantes.
[(jj) ⇔ (jjj)] . Immédiat.
** Exercice IV.2. On note ·, ·· le produit scalaire usuel dans R n et · · la norme
euclidienne associée. Soit a ∈ R n et A ∈ S n (R) définie positive. On définit :
X := {x ∈ R
n
| |A(x − a), x − a 1} ;
Y := {x ∈ R
n
| | y 1} ;
l : (x, y) ∈ R
n
× R
n
−→ l(x, y) := x, y .
1 ◦ ) a) Indiquer rapidement pourquoi l a des points-selles sur X × Y.
b) Soit (x, y) un point-selle de l sur X × Y.
– Montrer que x est la projection de l’origine sur X.
– Quelle est la valeur-selle de l sur X × Y ?
– En déduire y.
132