IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
– Exemple. Soit P ∈ S n (R), Q ∈ S m (R), et R ∈ M m,n (R).
Donner une condition suffisante portant sur P et Q, assurant que la fonction
l : (x, y) −→ l(x, y) :=
1
2 P x, x +
1
2 Qy, y + Rx, y est convexe-concave
sur R n × R m .
2 ◦ ) On suppose l convexe-concave sur X × Y . Montrer l’équivalence des
assertions suivantes concernant (x, y) ∈ X × Y :
(j) (x, y) est un point-selle de l sur X × Y ;
(jj)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∇ x l(x, y), x − x 0 pour tout x ∈ X
et
∇ y l(x, y), y − y 0 pour tout y ∈ Y ;
(jjj) ∇ x l(x, y), x − x − −∇ y l(x, y), y − y 0 pour tout (x, y) ∈ X × Y.
Remarque : Les deux questions de l’exercice sont indépendantes.
Solution : 1 ◦ ) – [(i) ⇒ (ii)] . Soient (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ) dans X × Y. Puisque
l(·, y 2 ) est convexe sur X et l(x 1 , ·) concave sur Y , on a :
l(x 1 , y 2 ) − l(x 2 , y 2 ) ∇ x l(x 2 , y 2 ), x 1 − x 2
et
l(x 1 , y 2 ) − l(x 1 , y 1 ) ∇ y l(x 1 , y 1 ), y 2 − y 1 .
Il s’ensuit :
(∗)
l(x 1 , y 1 ) − l(x 2 , y 2 ) ∇ x l(x 2 , y 2 ), x 1 − x 2 + ∇ y l(x 1 , y 1 ), y 1 − y 2 .
Comme l(·, y 1 ) est aussi convexe sur X et l(x 2 , ·) concave sur Y on a, de
la même manière,
(∗∗) l(x 2 , y 2 ) − l(x 1 , y 1 ) ∇ x l(x 1 , y 1 ), x 2 − x 1 + ∇ y l(x 2 , y 2 ), y 2 − y 1 .
L’addition membre à membre des inégalités (∗) et (∗∗) conduit à :
0 ∇ x l(x 2 , y 2 ) − ∇ x l(x 1 , y 1 ), x 1 − x 2 + ∇ y l(x 1 , y 1 ) − ∇ y l(x 2 , y 2 ), y 1 − y 2 ,
ce qui est l’inégalité de (ii) .
[(ii) ⇒ (i)] . Soit y ∈ Y. Faisons y 1 = y 2 = y dans (ii) ; il vient :
∇ x l(x 1 , y) − ∇ x l(x 2 , y), x 1 − x 2 0 pour tout x 1 et x 2 dans X.
Ceci implique (en fait caractérise) la convexité de la fonction l(·, y) sur X.
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